Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função trigonométrica . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente as regras de derivação para funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e saber as derivadas das funções cotangente ( ) e cossecante ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é dada por . Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e .
A derivada de é , ou seja:
A derivada de é , então:

Passo 4

Com as derivadas encontradas, aplicamos a regra do produto:
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
O primeiro termo:
O segundo termo:

Passo 6

Juntando os dois termos simplificados:
Podemos fatorar :

Passo 7

Lembrando da identidade trigonométrica , substituímos:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Para cada função encontre: Os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
[2 pontos por item]
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(h) .
Ache a derivada da função usando os teoremas de derivação.
[1 ponto por item]