Para cada função f abaixo, determine todos os valores de x para os quais f é contínua.
f(x) = x^2 * (x + 3)^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que pede para determinar todos os valores de onde a função é contínua. Isso está relacionado com o estudo de funções contínuas na matemática, mais especificamente funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como ela se aplica às funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tiver “saltos”, “buracos” ou “assíntotas” naquele ponto. Em termos mais simples, você pode desenhar o gráfico da função sem levantar o lápis do papel.

Passo 3

Agora, vamos focar nas funções polinomiais. Essas funções são formadas por termos com potências inteiras não negativas de , como , , etc., e são combinadas por adição, subtração e multiplicação. Um exemplo é a função que estamos analisando: .

Passo 4

Uma propriedade importante das funções polinomiais é que elas são contínuas para todo valor real de . Isso acontece porque polinômios não têm divisões por zero, raízes quadradas de números negativos, ou outros elementos que possam causar descontinuidades.

Passo 5

Aplicando essa propriedade à nossa função , como ela é um polinômio (produto de e ), podemos afirmar que não existem valores de que causem descontinuidade nessa função.

Resposta

A função é contínua para todos os valores reais de .

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