(a) Seja
dada por
, se
e
, se
. Mostre que
é descontínua em 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
definida por:
é descontínua em
. Isso envolve entender o conceito de continuidade de funções, especialmente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso,
. Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1.
está definida?
Sim, olhando a definição da função:
Portanto,
está definida e vale 1.
Passo 4
2. O limite de
quando
se aproxima de 0 existe?
Para isso, precisamos calcular o limite pela esquerda (
) e o limite pela direita (
) e ver se são iguais.
- Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (
), o limite geral de
quando
se aproxima de 0 não existe.
Passo 5
3. Comparar o limite com
:
Mesmo que o limite existisse, precisaríamos que ele fosse igual a
. Mas como o limite não existe devido aos limites laterais diferentes, essa condição já não é satisfeita.
Passo 6
Como pelo menos uma das três condições para continuidade em
não é atendida (neste caso, o segundo passo, onde o limite não existe), podemos concluir que a função
é descontínua em 0.
Resposta
A função
é descontínua em
porque o limite esquerdo é 0, o limite direito é 1 e esses limites não são iguais, fazendo com que o limite geral não exista e não coincida com
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
Calcule o limite:
Para cada função
abaixo, determine todos os valores de
para os quais
é contínua.
;
Para cada função
abaixo, determine todos os valores de
para os quais
é contínua.