(a) Seja dada por , se e , se . Mostre que é descontínua em 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função definida por:
é descontínua em . Isso envolve entender o conceito de continuidade de funções, especialmente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, . Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. está definida?
Sim, olhando a definição da função:
Portanto, está definida e vale 1.

Passo 4

2. O limite de quando se aproxima de 0 existe?
Para isso, precisamos calcular o limite pela esquerda ( ) e o limite pela direita ( ) e ver se são iguais.
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), o limite geral de quando se aproxima de 0 não existe.

Passo 5

3. Comparar o limite com :
Mesmo que o limite existisse, precisaríamos que ele fosse igual a . Mas como o limite não existe devido aos limites laterais diferentes, essa condição já não é satisfeita.

Passo 6

Como pelo menos uma das três condições para continuidade em não é atendida (neste caso, o segundo passo, onde o limite não existe), podemos concluir que a função é descontínua em 0.

Resposta

A função é descontínua em porque o limite esquerdo é 0, o limite direito é 1 e esses limites não são iguais, fazendo com que o limite geral não exista e não coincida com .

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Calcule os limites abaixo:
Calcule o limite:
Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.
;
Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.