Calcule os limites abaixo:
lim x +infty(raiz3 x^2+x-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x +infty(raiz3 x^2+x-2 x). Aqui, estamos trabalhando com limites no cálculo, e vamos precisar manipular expressões envolvendo raízes quadradas e funções polinomiais para simplificar e encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, observe que à medida que raiz3x^2 + x = raizx^2 (3 + 1x) = x raiz3 + 1x vai para mais infinito, os termos com maior potência de dominam a expressão. Então, dentro da raiz quadrada, o termo é o que mais cresce, e podemos fatorar para simplificar:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original do limite:
limx to +infty ( x raiz3 + 1x - 2x )

Passo 4

Podemos fatorar limx to +infty [ x ( raiz3 + 1x - 2 ) ] fora dos termos:

Passo 5

Para simplificar a expressão dentro do parêntese, expandimos a raiz usando uma aproximação para grandes valores de raiz3 + 1x approx raiz3 + 12 raiz3 x . Sabemos que quando é muito grande, é muito pequeno, então podemos aproximar:

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
limx to +infty [ x ( raiz3 + 12 raiz3 x - 2 ) ] = limx to +infty [ x (raiz3 - 2) + 12 raiz3 ]

Passo 7

Agora, analisamos cada termo separadamente:
  • : como vai para infinito, se for negativo, esse termo vai para menos infinito.
  • : é uma constante e não altera o comportamento do limite.
Sabemos que , então , que é negativo.

Passo 8

Portanto, o termo dominante é , que tende a menos infinito. Assim, o limite todo tende a menos infinito.

Resposta

O limite é .

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