Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites no cálculo, e vamos precisar manipular expressões envolvendo raízes quadradas e funções polinomiais para simplificar e encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, observe que à medida que vai para mais infinito, os termos com maior potência de dominam a expressão. Então, dentro da raiz quadrada, o termo é o que mais cresce, e podemos fatorar para simplificar:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original do limite:

Passo 4

Podemos fatorar fora dos termos:

Passo 5

Para simplificar a expressão dentro do parêntese, expandimos a raiz usando uma aproximação para grandes valores de . Sabemos que quando é muito grande, é muito pequeno, então podemos aproximar:

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:

Passo 7

Agora, analisamos cada termo separadamente:
  • : como vai para infinito, se for negativo, esse termo vai para menos infinito.
  • : é uma constante e não altera o comportamento do limite.
Sabemos que , então , que é negativo.

Passo 8

Portanto, o termo dominante é , que tende a menos infinito. Assim, o limite todo tende a menos infinito.

Resposta

O limite é .

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(a) Seja dada por , se e , se . Mostre que é descontínua em 0 .
Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.
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