Discuta a continuidade das funções abaixo:
f(x) = raiz((x - 3)(x + 4))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai analisar a continuidade da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida, ou seja, onde a expressão dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja não-negativo, porque raiz de número negativo não é real. Então, temos que:

Passo 3

Vamos resolver a inequação . Para isso, encontramos os pontos onde cada fator é zero:
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:

Passo 4

Agora, vamos testar cada intervalo para ver onde o produto é positivo ou zero.
  1. Para :
    • é negativo.
    • é negativo.
    • O produto de dois negativos é positivo: .
  2. Para :
    • é negativo.
    • é positivo.
    • O produto de negativo e positivo é negativo: .
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • O produto de dois positivos é positivo: .

Passo 5

Além dos intervalos onde o produto é positivo, também devemos considerar onde ele é zero, ou seja, nos pontos e . Nesses pontos, a função é igual a zero, o que é permitido.

Passo 6

Então, combinando as informações:
  • A função está definida para e para .
  • Em todo esse domínio, a função é contínua porque a raiz quadrada de uma função contínua (quando definida) também é contínua.

Resposta

A função é contínua para todos os valores de tais que ou . Ou seja, a continuidade ocorre nos intervalos e .

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