Discuta a continuidade das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai analisar a continuidade da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida, ou seja, onde a expressão dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja não-negativo, porque raiz de número negativo não é real. Então, temos que:
Passo 3
Vamos resolver a inequação
. Para isso, encontramos os pontos onde cada fator é zero:
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
Passo 4
Agora, vamos testar cada intervalo para ver onde o produto
é positivo ou zero.
-
Para
: -
é negativo. -
é negativo. - O produto de dois negativos é positivo:
.
-
-
Para
: -
é negativo. -
é positivo. - O produto de negativo e positivo é negativo:
.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. - O produto de dois positivos é positivo:
.
-
Passo 5
Além dos intervalos onde o produto é positivo, também devemos considerar onde ele é zero, ou seja, nos pontos
e
. Nesses pontos, a função
é igual a zero, o que é permitido.
Passo 6
Então, combinando as informações:
- A função está definida para
e para . - Em todo esse domínio, a função
é contínua porque a raiz quadrada de uma função contínua (quando definida) também é contínua.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
tais que
ou
. Ou seja, a continuidade ocorre nos intervalos
e
.