Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
(iv) Esboce o gráfico de
.
analise
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função
, definida para
. O que precisamos fazer é:
- Encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Identificar os valores máximos e mínimos locais.
- Verificar onde a função é côncava pra cima ou pra baixo e encontrar os pontos de inflexão.
- Esboçar o gráfico da função.
- Analisar o limite de
quando tende a 0 a partir da direita.
Para resolver tudo isso, vamos precisar usar derivadas primeiras e segundas, e entender um pouco sobre comportamento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos derivar
e ver onde a derivada é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
A derivada de
é:
Usando a regra do produto:
Podemos fatorar
:
Agora, vamos encontrar onde
:
Como
, a solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar onde a função está aumentando ou diminuindo analisando o sinal de
nas regiões divididas pelo ponto crítico
.
-
Para
: -
é negativo, então pode ser negativo ou positivo. - Testando
, por exemplo: - Então,
, ou seja, a função está decrescendo.
-
-
Para
: -
é positivo ou menos negativo, de modo que é positivo. - Testando
: - Então,
, ou seja, a função está crescendo.
-
Passo 4
Vamos agora encontrar os valores máximos e mínimos locais.
Sabemos que a função muda de decrescente para crescente em
, o que indica um mínimo local nesse ponto.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos na função:
Então, o mínimo local é
em
. Não há máximo local, pois a função tende a crescer indefinidamente conforme
aumenta.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Vamos encontrar onde
:
Esse é o ponto onde a concavidade muda, ou seja, um ponto de inflexão.
Agora, analisando o sinal de
:
-
Para
: -
é muito negativo, então , concavidade para baixo.
-
-
Para
: -
aumenta, tornando , concavidade para cima.
-
Passo 6
Vamos resumir os resultados para poder esboçar o gráfico:
- Crescente:
- Decrescente:
- Mínimo Local:
em - Concavidade para baixo:
- Concavidade para cima:
- Ponto de Inflexão:
- Limite quando
: Vamos analisar esse limite.
Passo 7
Vamos calcular o limite
.
Sabemos que
quando
, e
. Então, temos uma forma indeterminada do tipo
.
Podemos reescrever o limite como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, pois temos
:
Derivando o numerador e o denominador:
Então,
Resposta
-
Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Crescente:
- Decrescente:
- Crescente:
-
Valores Máximos e Mínimos Locais:
- Mínimo local de
em - Não há máximo local.
- Mínimo local de
-
Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para baixo:
- Concavidade para cima:
- Ponto de inflexão em
- Concavidade para baixo:
-
Gráfico da Função:
- A função tem um mínimo local em
, passa por um ponto de inflexão em , e tende a 0 quando se aproxima de 0 pela direita.
- A função tem um mínimo local em
-
Limite:
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Calcule, se existir, o limite.
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de