Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
analise

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função , definida para . O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  2. Identificar os valores máximos e mínimos locais.
  3. Verificar onde a função é côncava pra cima ou pra baixo e encontrar os pontos de inflexão.
  4. Esboçar o gráfico da função.
  5. Analisar o limite de quando tende a 0 a partir da direita.
Para resolver tudo isso, vamos precisar usar derivadas primeiras e segundas, e entender um pouco sobre comportamento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos derivar e ver onde a derivada é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
A derivada de é:
Usando a regra do produto:
Podemos fatorar :
Agora, vamos encontrar onde :
Como , a solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos determinar onde a função está aumentando ou diminuindo analisando o sinal de nas regiões divididas pelo ponto crítico .
  1. Para :
    • é negativo, então pode ser negativo ou positivo.
    • Testando , por exemplo:
    • Então, , ou seja, a função está decrescendo.
  2. Para :
    • é positivo ou menos negativo, de modo que é positivo.
    • Testando :
    • Então, , ou seja, a função está crescendo.

Passo 4

Vamos agora encontrar os valores máximos e mínimos locais.
Sabemos que a função muda de decrescente para crescente em , o que indica um mínimo local nesse ponto.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos na função:
Então, o mínimo local é em . Não há máximo local, pois a função tende a crescer indefinidamente conforme aumenta.

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Vamos encontrar onde :
Esse é o ponto onde a concavidade muda, ou seja, um ponto de inflexão.
Agora, analisando o sinal de :
  1. Para :
    • é muito negativo, então , concavidade para baixo.
  2. Para :
    • aumenta, tornando , concavidade para cima.

Passo 6

Vamos resumir os resultados para poder esboçar o gráfico:
  • Crescente:
  • Decrescente:
  • Mínimo Local: em
  • Concavidade para baixo:
  • Concavidade para cima:
  • Ponto de Inflexão:
  • Limite quando : Vamos analisar esse limite.

Passo 7

Vamos calcular o limite .
Sabemos que quando , e . Então, temos uma forma indeterminada do tipo .
Podemos reescrever o limite como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, pois temos :
Derivando o numerador e o denominador:
Então,

Resposta

  1. Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
    • Crescente:
    • Decrescente:
  2. Valores Máximos e Mínimos Locais:
    • Mínimo local de em
    • Não há máximo local.
  3. Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Concavidade para baixo:
    • Concavidade para cima:
    • Ponto de inflexão em
  4. Gráfico da Função:
    • A função tem um mínimo local em , passa por um ponto de inflexão em , e tende a 0 quando se aproxima de 0 pela direita.
  5. Limite:

Exercícios relacionados

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.
Calcule, se existir, o limite.
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .