Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função , válida para . A questão pede para a gente analisar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores máximos e mínimos, ver a concavidade e os pontos de inflexão, e finalmente esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a função para facilitar o cálculo das derivadas. A função dada é . Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência fracionária:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajudará a determinar onde a função é crescente ou decrescente. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Para facilitar, podemos colocar em evidência :

Passo 4

Vamos agora encontrar onde a função é crescente ou decrescente analisando o sinal de .
O denominador é sempre positivo para . Então, o sinal de depende apenas do numerador .
  • Se : é crescente.
  • Se : é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais. Sabemos que a função muda de crescente para decrescente em , então esse ponto é um ponto de máximo local.
Vamos calcular :
Como a função está definida para , vamos também verificar o comportamento nos extremos do domínio:
  • Em , tende a .
  • Em :
Então, além do máximo em , temos um mínimo local em .

Passo 6

Vamos agora encontrar a concavidade da função e os pontos de inflexão, usando a segunda derivada .
Primeiro, vamos derivar :
Usando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Simplificando:
Multiplicando o numerador por 2 para eliminar a fração:

Passo 7

Vamos analisar o sinal de .
O denominador é sempre positivo para .
Então, o sinal de depende do numerador :
  • Se : Mas como , isso nunca acontece. Então para todo .
Isso significa que a função é sempre côncava para baixo no domínio dado e não tem pontos de inflexão.

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico de :
  • A função está definida para .
  • Tem um máximo local em com .
  • Tem um mínimo local em com .
  • É crescente em e decrescente em .
  • A concavidade é sempre para baixo.
  • Não há pontos de inflexão.
O gráfico terá uma forma de morro, subindo até e descendo depois, sem mudanças na concavidade.

Resposta

A função é crescente para , decrescente para , tem um máximo local em com valor , é sempre côncava para baixo e não possui pontos de inflexão.

Exercícios relacionados

Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
analise
Dada a elipse . ponto) Encontre as equaçöe fdgs semi-elipses simpetricas em relação aos eixos focal e não-focal.
Dada a elipse . ponto) Defina o domínio e a imagem dee amy as unçöes simétricas e .