Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
(iv) Esboce o gráfico de
.
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
, válida para
. A questão pede para a gente analisar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores máximos e mínimos, ver a concavidade e os pontos de inflexão, e finalmente esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a função para facilitar o cálculo das derivadas. A função dada é
. Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência fracionária:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajudará a determinar onde a função é crescente ou decrescente. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Para facilitar, podemos colocar em evidência
:
Passo 4
Vamos agora encontrar onde a função é crescente ou decrescente analisando o sinal de
.
O denominador
é sempre positivo para
. Então, o sinal de
depende apenas do numerador
.
- Se
⇒ : ⇒ é crescente. - Se
⇒ : ⇒ é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais. Sabemos que a função muda de crescente para decrescente em
, então esse ponto é um ponto de máximo local.
Vamos calcular
:
Como a função está definida para
, vamos também verificar o comportamento nos extremos do domínio:
- Em
, tende a . - Em
:
Então, além do máximo em
, temos um mínimo local em
.
Passo 6
Vamos agora encontrar a concavidade da função e os pontos de inflexão, usando a segunda derivada
.
Primeiro, vamos derivar
:
Usando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Simplificando:
Multiplicando o numerador por 2 para eliminar a fração:
Passo 7
Vamos analisar o sinal de
.
O denominador
é sempre positivo para
.
Então, o sinal de
depende do numerador
:
- Se
⇒ : Mas como , isso nunca acontece. Então para todo .
Isso significa que a função é sempre côncava para baixo no domínio dado e não tem pontos de inflexão.
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico de
:
- A função está definida para
. - Tem um máximo local em
com . - Tem um mínimo local em
com . - É crescente em
e decrescente em . - A concavidade é sempre para baixo.
- Não há pontos de inflexão.
O gráfico terá uma forma de morro, subindo até
e descendo depois, sem mudanças na concavidade.
Resposta
A função
é crescente para
, decrescente para
, tem um máximo local em
com valor
, é sempre côncava para baixo e não possui pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
analise
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Dada a elipse
.
ponto) Encontre as equaçöe fdgs semi-elipses simpetricas em relação aos eixos focal e não-focal.
Dada a elipse
.
ponto) Defina o domínio e a imagem dee amy as unçöes simétricas
e
.