Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 2, [-2, 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo . Vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, para achar esses valores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro do intervalo. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos, junto com as extremidades do intervalo, são candidatos a serem os máximos e mínimos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de onde :
Podemos fatorar:
Isso dá:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos:
Então, os pontos críticos dentro do intervalo são .

Passo 6

Vamos agora calcular os valores da função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo.
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos comparar todos esses valores para identificar os máximos e mínimos absolutos:
O valor mais alto é 34 e o mais baixo é -30.

Resposta

O valor máximo absoluto de no intervalo é e o valor mínimo absoluto é .

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