Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que vamos analisar é . Nosso objetivo é:
  1. Encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  2. Descobrir os valores máximos e mínimos locais.
  3. Identificar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
  4. Fazer um esboço do gráfico da função.
Para isso, vamos precisar usar derivadas: a primeira derivada para ver onde a função sobe ou desce, e a segunda derivada para entender a concavidade do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajudará a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora que temos , vamos descobrir onde essa derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Para isso, resolvemos a equação :
Então, a derivada muda de sinal em .

Passo 4

Vamos testar os intervalos determinados por para saber onde é positiva ou negativa.
  1. Para :
    • Escolha .
    • .
  2. Para :
    • Escolha .
    • .
Então, a função é:
  • Decrescente quando .
  • Crescente quando .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais. Como a derivada muda de negativa para positiva em , isso indica um mínimo local nesse ponto.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos na função :

Passo 6

Vamos agora encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Derivando :

Passo 7

Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de :
Como e são sempre positivos para qualquer , é sempre positivo.
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o domínio, e não possui pontos de inflexão.

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico de :
  1. Sabemos que a função tem um mínimo local em .
  2. A função é decrescente antes desse ponto e crescente depois.
  3. A concavidade é sempre para cima, sem pontos de inflexão.
  4. Além disso, tende para quando tende para e para quando tende para , devido aos termos exponenciais.
Com essas informações, podemos desenhar um gráfico que tem um ponto de mínimo e sobe indefinidamente nos dois extremos, com uma concavidade sempre para cima.

Resposta

Resumindo:
  1. Crescimento/Decrescimento:
    • Decrescente para .
    • Crescente para .
  2. Máximo e Mínimo Local:
    • Mínimo local em .
    • Não há máximos locais.
  3. Concavidade e Ponto de Inflexão:
    • Concava para cima em todo o domínio.
    • Sem pontos de inflexão.
  4. Esboço do Gráfico:
    • Possui um mínimo local em .
    • A função é decrescente antes desse ponto e crescente depois.
    • Concavidade sempre para cima, sem mudanças.
    • Tendências para nos extremos.

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Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
analise
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
Dada a elipse . ponto) Encontre as equaçöe fdgs semi-elipses simpetricas em relação aos eixos focal e não-focal.