Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
(iv) Esboce o gráfico de
.
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que vamos analisar é
. Nosso objetivo é:
- Encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Descobrir os valores máximos e mínimos locais.
- Identificar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Fazer um esboço do gráfico da função.
Para isso, vamos precisar usar derivadas: a primeira derivada para ver onde a função sobe ou desce, e a segunda derivada para entender a concavidade do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajudará a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora que temos
, vamos descobrir onde essa derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Para isso, resolvemos a equação
:
Então, a derivada muda de sinal em
.
Passo 4
Vamos testar os intervalos determinados por
para saber onde
é positiva ou negativa.
-
Para
: - Escolha
. -
.
- Escolha
-
Para
: - Escolha
. -
.
- Escolha
Então, a função é:
- Decrescente quando
. - Crescente quando
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais. Como a derivada muda de negativa para positiva em
, isso indica um mínimo local nesse ponto.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos
na função
:
Passo 6
Vamos agora encontrar a segunda derivada
para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Derivando
:
Passo 7
Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de
:
Como
e
são sempre positivos para qualquer
,
é sempre positivo.
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o domínio, e não possui pontos de inflexão.
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico de
:
- Sabemos que a função tem um mínimo local em
. - A função é decrescente antes desse ponto e crescente depois.
- A concavidade é sempre para cima, sem pontos de inflexão.
- Além disso,
tende para quando tende para e para quando tende para , devido aos termos exponenciais.
Com essas informações, podemos desenhar um gráfico que tem um ponto de mínimo e sobe indefinidamente nos dois extremos, com uma concavidade sempre para cima.
Resposta
Resumindo:
-
Crescimento/Decrescimento:
- Decrescente para
. - Crescente para
.
- Decrescente para
-
Máximo e Mínimo Local:
- Mínimo local em
. - Não há máximos locais.
- Mínimo local em
-
Concavidade e Ponto de Inflexão:
- Concava para cima em todo o domínio.
- Sem pontos de inflexão.
-
Esboço do Gráfico:
- Possui um mínimo local em
. - A função é decrescente antes desse ponto e crescente depois.
- Concavidade sempre para cima, sem mudanças.
- Tendências para
nos extremos.
- Possui um mínimo local em
Exercícios relacionados
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
analise
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Dada a elipse
.
ponto) Encontre as equaçöe fdgs semi-elipses simpetricas em relação aos eixos focal e não-focal.