Dada a elipse
.
ponto) Encontre as equaçöe fdgs semi-elipses simpetricas em relação aos eixos focal e não-focal.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse dada pela equação:
O conteúdo aqui é elipses, que fazem parte da geometria analítica. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das elipses e como dividir uma elipse em semi-élipses que são simétricas em relação aos seus eixos focal (geralmente o eixo maior) e não-focal (o eixo menor).
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que uma elipse tem dois eixos principais: o eixo focal (ou maior) e o eixo não-focal (ou menor). Na equação dada, se
, então o eixo focal está no eixo
e o eixo não-focal está no eixo
.
Passo 3
Para encontrar as semi-élipses, vamos dividir a elipse original em duas partes iguais. Essas partes serão simétricas em relação aos eixos focal e não-focal. Ou seja, teremos uma semi-elipse acima do eixo
e outra abaixo dele, e também uma semi-elipse à direita e outra à esquerda do eixo
.
Passo 4
Vamos começar dividindo a elipse em duas semi-élipses simétricas em relação ao eixo focal (eixo
). Para isso, isolamos
:
As duas soluções
e
representam as semi-élipses acima e abaixo do eixo
, respectivamente.
Passo 5
Agora, vamos dividir a elipse em duas semi-élipses simétricas em relação ao eixo não-focal (eixo
). Para isso, isolamos
:
As duas soluções
e
representam as semi-élipses à direita e à esquerda do eixo
, respectivamente.
Resposta
As equações das semi-élipses simétricas em relação aos eixos focal e não-focal são:
Para o eixo focal (
):
Para o eixo não-focal (
):
Exercícios relacionados
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
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(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Dada a elipse
.
ponto) Defina o domínio e a imagem dee amy as unçöes simétricas
e
.
Dada a elipse
.
ponto) Escreva uma integral definiga para galculat a área da elipse
a partir de uma das funções simétricas.