Dada a elipse . ponto) Encontre as equaçöe fdgs semi-elipses simpetricas em relação aos eixos focal e não-focal.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse dada pela equação:
O conteúdo aqui é elipses, que fazem parte da geometria analítica. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das elipses e como dividir uma elipse em semi-élipses que são simétricas em relação aos seus eixos focal (geralmente o eixo maior) e não-focal (o eixo menor).

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que uma elipse tem dois eixos principais: o eixo focal (ou maior) e o eixo não-focal (ou menor). Na equação dada, se , então o eixo focal está no eixo e o eixo não-focal está no eixo .

Passo 3

Para encontrar as semi-élipses, vamos dividir a elipse original em duas partes iguais. Essas partes serão simétricas em relação aos eixos focal e não-focal. Ou seja, teremos uma semi-elipse acima do eixo e outra abaixo dele, e também uma semi-elipse à direita e outra à esquerda do eixo .

Passo 4

Vamos começar dividindo a elipse em duas semi-élipses simétricas em relação ao eixo focal (eixo ). Para isso, isolamos :
As duas soluções e representam as semi-élipses acima e abaixo do eixo , respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos dividir a elipse em duas semi-élipses simétricas em relação ao eixo não-focal (eixo ). Para isso, isolamos :
As duas soluções e representam as semi-élipses à direita e à esquerda do eixo , respectivamente.

Resposta

As equações das semi-élipses simétricas em relação aos eixos focal e não-focal são:
Para o eixo focal ( ):
Para o eixo não-focal ( ):

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(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
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