Dada a elipse
.
ponto) Defina o domínio e a imagem dee amy as unçöes simétricas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem a equação da elipse
. O que a gente precisa fazer é encontrar o domínio e a imagem das funções simétricas
e
. Isso envolve entender quais são os valores de
e
que satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é domínio e imagem. O domínio de uma função são todos os valores de entrada possíveis, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. A imagem (ou intervalo) são todos os valores de saída possíveis, ou seja, os valores de
que a função pode assumir.
Passo 3
Vamos começar analisando a função
. A gente precisa isolar
na equação da elipse. Temos:
Então, subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
E tirando a raiz quadrada:
Passo 4
Agora, para encontrar o domínio de
, olhamos para os valores de
que fazem a expressão dentro da raiz quadrada ser não negativa:
Então, o domínio de
é
.
Passo 5
A imagem de
são os valores de
que a função pode assumir. Olhando a equação
, o valor máximo de
ocorre quando
:
Então, a imagem de
é
.
Passo 6
Vamos agora analisar a função
. A gente faz algo parecido, mas agora isolando
:
Multiplicando por
:
E tirando a raiz quadrada:
Passo 7
Para encontrar o domínio de
, analisamos os valores de
que tornam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa:
Então, o domínio de
é
.
Passo 8
A imagem de
são os valores de
que a função pode assumir. O valor máximo de
ocorre quando
:
Então, a imagem de
é
.
Resposta
-
Para
: - Domínio:
- Imagem:
- Domínio:
-
Para
: - Domínio:
- Imagem:
- Domínio:
Exercícios relacionados
Dada a elipse
.
ponto) Encontre as equaçöe fdgs semi-elipses simpetricas em relação aos eixos focal e não-focal.
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Dada a elipse
.
ponto) Escreva uma integral definiga para galculat a área da elipse
a partir de uma das funções simétricas.
Dada a elipse
.
ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse
.