Dada a elipse . ponto) Defina o domínio e a imagem dee amy as unçöes simétricas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem a equação da elipse . O que a gente precisa fazer é encontrar o domínio e a imagem das funções simétricas e . Isso envolve entender quais são os valores de e que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é domínio e imagem. O domínio de uma função são todos os valores de entrada possíveis, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. A imagem (ou intervalo) são todos os valores de saída possíveis, ou seja, os valores de que a função pode assumir.

Passo 3

Vamos começar analisando a função . A gente precisa isolar na equação da elipse. Temos:
Então, subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
E tirando a raiz quadrada:

Passo 4

Agora, para encontrar o domínio de , olhamos para os valores de que fazem a expressão dentro da raiz quadrada ser não negativa:
Então, o domínio de é .

Passo 5

A imagem de são os valores de que a função pode assumir. Olhando a equação , o valor máximo de ocorre quando :
Então, a imagem de é .

Passo 6

Vamos agora analisar a função . A gente faz algo parecido, mas agora isolando :
Multiplicando por :
E tirando a raiz quadrada:

Passo 7

Para encontrar o domínio de , analisamos os valores de que tornam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa:
Então, o domínio de é .

Passo 8

A imagem de são os valores de que a função pode assumir. O valor máximo de ocorre quando :
Então, a imagem de é .

Resposta

  • Para :
    • Domínio:
    • Imagem:
  • Para :
    • Domínio:
    • Imagem:

Exercícios relacionados

Dada a elipse . ponto) Encontre as equaçöe fdgs semi-elipses simpetricas em relação aos eixos focal e não-focal.
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
Dada a elipse . ponto) Escreva uma integral definiga para galculat a área da elipse a partir de uma das funções simétricas.
Dada a elipse . ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse .