Dada a elipse E: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. 0,5 ponto) Defina o domínio e a imagem dee amy as unçöes simétricas y = f(x) e x = f(y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem a equação da elipse E: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. O que a gente precisa fazer é encontrar o domínio e a imagem das funções simétricas e . Isso envolve entender quais são os valores de x e y que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é domínio e imagem. O domínio de uma função são todos os valores de entrada possíveis, ou seja, os valores de x para os quais a função está definida. A imagem (ou intervalo) são todos os valores de saída possíveis, ou seja, os valores de y que a função pode assumir.

Passo 3

Vamos começar analisando a função . A gente precisa isolar y na equação da elipse. Temos:
Então, subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por b^2:
E tirando a raiz quadrada:

Passo 4

Agora, para encontrar o domínio de , olhamos para os valores de x que fazem a expressão dentro da raiz quadrada ser não negativa:
Então, o domínio de é [-a, a].

Passo 5

A imagem de são os valores de y que a função pode assumir. Olhando a equação , o valor máximo de y ocorre quando x = 0:
Então, a imagem de é .

Passo 6

Vamos agora analisar a função . A gente faz algo parecido, mas agora isolando x:
Multiplicando por a^2:
E tirando a raiz quadrada:

Passo 7

Para encontrar o domínio de , analisamos os valores de y que tornam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa:
Então, o domínio de é .

Passo 8

A imagem de são os valores de x que a função pode assumir. O valor máximo de x ocorre quando :
Então, a imagem de é [-a, a].

Resposta

  • Para :
    • Domínio: [-a, a]
    • Imagem:
  • Para :
    • Domínio:
    • Imagem: [-a, a]

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