Para cada função f e intervalo [a, b] indicado, calcule integrala^b f(x) d x.
f(x)=l x-3, se x <= 0 2-x^2, se x>0
e[a, b]=[-2,3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de uma função que muda de fórmula dependendo do valor de . O intervalo dado é de até . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções por partes e integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. A função f(x) = x - 3, & se x <= 0 2 - x^2, & se x > 0 é definida por:
Vemos que a mudança acontece em . Então, para calcular a integral de a , vamos dividir esse intervalo em duas partes: de a e de a .

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral (x - 3) , dx = 12x^2 - 3x + C a da função . A integral de uma função contínua é basicamente a área sob a curva dessa função no intervalo especificado. A fórmula básica para integrar é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 12x^2 - 3x ]-2^0 = ( 12(0)^2 - 3(0) ) - ( 12(-2)^2 - 3(-2) ) = 0 - ( 2 + 6 ) = -8 a :
Então, a integral de a é .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de integral (2 - x^2) , dx = 2x - 13x^3 + C a [ 2x - 13x^3 ]0^3 = ( 2(3) - 13(3)^3 ) - ( 2(0) - 13(0)^3 ) = (6 - 9) - 0 = -3 da função . A integral dessa função é:
Mais uma vez, vamos aplicar os limites de a :
Então, a integral de a é .

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
-8 + (-3) = -11
Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados