Para cada função e intervalo indicado, calcule .
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de uma função que muda de fórmula dependendo do valor de . O intervalo dado é de até . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções por partes e integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. A função é definida por:
Vemos que a mudança acontece em . Então, para calcular a integral de a , vamos dividir esse intervalo em duas partes: de a e de a .

Passo 3

Vamos calcular a integral de a da função . A integral de uma função contínua é basicamente a área sob a curva dessa função no intervalo especificado. A fórmula básica para integrar é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Então, a integral de a é .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de a da função . A integral dessa função é:
Mais uma vez, vamos aplicar os limites de a :
Então, a integral de a é .

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
Portanto, o valor da integral é .

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