Calcule a área da região situada entre a curva
, o eixo das abscissas e pelas curvas
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região que fica entre a curva
, o eixo das abscissas (que é o eixo
), e as linhas verticais
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta da Cálculo Integral utilizada para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área entre uma curva e o eixo
. Basicamente, estamos calculando a integral da função
nos limites de
a
. A fórmula básica para a área
é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, substituímos
pela função dada
:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, essa constante não será necessária.
Passo 5
Aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 6
Calculando os valores:
Então:
Passo 7
Percebemos que a área deu zero, mas isso acontece porque a função
é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem. As áreas acima e abaixo do eixo
se cancelam. Entretanto, como queremos a área total, devemos considerar o valor absoluto dessa integral.
Passo 8
Para encontrar a área total, podemos calcular a integral de
de
a
:
Multiplicamos por 2 porque a função é simétrica em relação ao eixo
.
Passo 9
Calculando a integral:
Então:
Resposta
A área da região situada entre a curva
, o eixo das abscissas e as linhas
e
é 8 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Para cada função
e intervalo
indicado, calcule
.
Calcule as integrais.
.
Calcule a área da região limitada entre as curvas
e
.
Calcule a área da região limitada entre as curvas
e
.