Calcule a área da região situada entre a curva , o eixo das abscissas e pelas curvas e .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região que fica entre a curva , o eixo das abscissas (que é o eixo ), e as linhas verticais e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta da Cálculo Integral utilizada para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área entre uma curva e o eixo . Basicamente, estamos calculando a integral da função nos limites de a . A fórmula básica para a área é:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, substituímos pela função dada :

Passo 4

Vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, essa constante não será necessária.

Passo 5

Aplicamos os limites de integração de a :

Passo 6

Calculando os valores:
Então:

Passo 7

Percebemos que a área deu zero, mas isso acontece porque a função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem. As áreas acima e abaixo do eixo se cancelam. Entretanto, como queremos a área total, devemos considerar o valor absoluto dessa integral.

Passo 8

Para encontrar a área total, podemos calcular a integral de de a :
Multiplicamos por 2 porque a função é simétrica em relação ao eixo .

Passo 9

Calculando a integral:
Então:

Resposta

A área da região situada entre a curva , o eixo das abscissas e as linhas e é 8 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Para cada função e intervalo indicado, calcule .
.
Calcule as integrais. .
Calcule a área da região limitada entre as curvas e .
Calcule a área da região limitada entre as curvas e .