Calcule as integrais.
.
Passo 1
Ok, vamos lá! Precisamos calcular a integral de arctangente de x, ou seja,
. Esse exercício está no campo do cálculo integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, lembramos a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
A ideia aqui é escolher partes da integral para serem
e
de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos escolher agora quais partes serão
e
na nossa integral:
- Escolha de
: Vamos deixar , porque sua derivada é simples de calcular. - Escolha de
: Então, , o que nos facilita encontrar .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
:
-
Calculando
: Derivamos . A derivada de é , então: -
Calculando
: Integramos . A integral de é simplesmente , então:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:
Substituindo
,
, e
:
Passo 6
Ficou uma integral mais simples para resolver:
. Vamos resolver essa integral separadamente.
Passo 7
Para resolver
, podemos fazer uma substituição:
- Substituição: Deixe
. Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .
Passo 8
Substituindo na integral:
A integral de
é
, então:
Passo 9
Voltando à expressão original, substituímos o resultado da integral que acabamos de encontrar:
Resposta
Então, a integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
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Para cada função
e intervalo
indicado, calcule
.
Calcule a área da região situada entre a curva
, o eixo das abscissas e pelas curvas
e
.