Calcule as integrais. .

Passo 1

Ok, vamos lá! Precisamos calcular a integral de arctangente de x, ou seja, . Esse exercício está no campo do cálculo integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
A ideia aqui é escolher partes da integral para serem e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher agora quais partes serão e na nossa integral:
  • Escolha de : Vamos deixar , porque sua derivada é simples de calcular.
  • Escolha de : Então, , o que nos facilita encontrar .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar e :
  • Calculando : Derivamos . A derivada de é , então:
  • Calculando : Integramos . A integral de é simplesmente , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:
Substituindo , , e :

Passo 6

Ficou uma integral mais simples para resolver: . Vamos resolver essa integral separadamente.

Passo 7

Para resolver , podemos fazer uma substituição:
  • Substituição: Deixe . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 8

Substituindo na integral:
A integral de é , então:

Passo 9

Voltando à expressão original, substituímos o resultado da integral que acabamos de encontrar:

Resposta

Então, a integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

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.
Calcule a área da região situada entre a curva , o eixo das abscissas e pelas curvas e .