Calcule a área da região limitada entre as curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área entre as curvas e . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a parte que trata de áreas entre curvas. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar os pontos de interseção dessas duas funções e depois integrar a diferença delas entre esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver a equação . Vamos juntar todos os termos de um lado:

Passo 3

Agora, fatoramos a equação:
Assim, temos duas soluções: e . Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Para descobrir qual função está por cima entre e , vamos escolher um valor nesse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área entre as curvas usando a seguinte fórmula da integral:
Á
Substituindo as funções e os limites de integração:
Á

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 2:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
Á

Resposta

A área da região limitada entre as curvas e é unidades quadradas.

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.
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