Calcule a área da região limitada entre as curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área entre as curvas
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a parte que trata de áreas entre curvas. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar os pontos de interseção dessas duas funções e depois integrar a diferença delas entre esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver a equação
. Vamos juntar todos os termos de um lado:
Passo 3
Agora, fatoramos a equação:
Assim, temos duas soluções:
e
. Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Para descobrir qual função está por cima entre
e
, vamos escolher um valor nesse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área entre as curvas usando a seguinte fórmula da integral:
Substituindo as funções e os limites de integração:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 2:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada entre as curvas
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região situada entre a curva
, o eixo das abscissas e pelas curvas
e
.
Para cada função
e intervalo
indicado, calcule
.
Calcule a área da região limitada entre as curvas
e
.
Calcule a área do triângulo determinada pelas curvas
e
.