Calcule as integrais. integral0^1 5^3 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, estamos lidando com uma função exponencial, que é uma função onde uma constante é elevada a uma variável. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a regra da cadeia para integrais exponenciais. Basicamente, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 5^3x+1 = 5^3x cdot 5^1 = 5 cdot 5^3x . Podemos usar as propriedades das potências para separar a constante:
integral0^1 5 cdot 5^3x , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte integral a^kx , dx = a^kxk ln a + C . Para integrar em relação a , onde e são constantes, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula, a integral de integral 5^3x , dx = 5^3x3 ln 5 + C é:
5 cdot 5^3x3 ln 5 = 5^3x + 13 ln 5
Agora, multiplicamos pelo 5 que estava fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração, de 0 a 1:
5^3x + 13 ln 5 |0^1 = 5^3(1) + 13 ln 5 - 5^3(0) + 13 ln 5
Simplificando os expoentes:
= 5^43 ln 5 - 5^13 ln 5

Passo 6

Calculando as potências de 5:
5^4 = 625 e 5^1 = 5
Substituindo de volta:
= 6253 ln 5 - 53 ln 5 = 625 - 53 ln 5
= 6203 ln 5

Resposta

A integral é igual a .

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