Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de
.
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisamos descobrir várias coisas sobre ela: onde ela está crescendo ou decrescendo, quais os pontos de máximo e mínimo, onde ela muda de concavidade e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, pra entender o comportamento dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajuda a saber onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos achar onde essa derivada é igual a zero, porque esses pontos são onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa. Então, resolvemos:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:
Passo 4
Com esses pontos
e
, vamos dividir a linha dos números em três intervalos para testar se a função está crescendo ou decrescendo em cada um:
Escolhemos valores de teste dentro de cada intervalo e avaliamos
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Com isso, concluímos que:
- A função
está crescente em e . - Está decrescente em
.
Passo 6
Agora, vamos descobrir os pontos de máximo e mínimo local. Os pontos críticos são
e
.
- Em
: A função passa de crescente para decrescente, então esse é um ponto de máximo local. - Em
: A função passa de decrescente para crescente, então esse é um ponto de mínimo local.
Passo 7
Para os pontos exatos, vamos substituir esses valores na função
:
Então, temos um máximo local em
e um mínimo local em
.
Passo 8
Vamos agora encontrar a segunda derivada para identificar os pontos de inflexão e a concavidade da função. A segunda derivada é:
Passo 9
Encontramos onde
:
Esse é o ponto onde a concavidade pode mudar.
Passo 10
Vamos testar a segunda derivada nos intervalos ao redor de
:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Passo 11
Assim, a função é:
- Concava para baixo em
- Concava para cima em
E tem um ponto de inflexão em
. Calculando
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 12
Por último, para esboçar o gráfico, juntamos todas essas informações:
- Crescente em
e - Decrescente em
- Máximo local em
- Mínimo local em
- Concavo para baixo em
- Concavo para cima em
- Ponto de inflexão em
Resposta
A função
tem:
- Intervalos de crescimento:
e - Intervalos de decrescimento:
- Máximo local em
- Mínimo local em
- Concavidade para baixo em
- Concavidade para cima em
- Ponto de inflexão em
E o gráfico da função segue essas características.