Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1,

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos descobrir várias coisas sobre ela: onde ela está crescendo ou decrescendo, quais os pontos de máximo e mínimo, onde ela muda de concavidade e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, pra entender o comportamento dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajuda a saber onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos achar onde essa derivada é igual a zero, porque esses pontos são onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa. Então, resolvemos:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:

Passo 4

Com esses pontos e , vamos dividir a linha dos números em três intervalos para testar se a função está crescendo ou decrescendo em cada um:
Escolhemos valores de teste dentro de cada intervalo e avaliamos :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com isso, concluímos que:
  • A função está crescente em e .
  • Está decrescente em .

Passo 6

Agora, vamos descobrir os pontos de máximo e mínimo local. Os pontos críticos são e .
  • Em : A função passa de crescente para decrescente, então esse é um ponto de máximo local.
  • Em : A função passa de decrescente para crescente, então esse é um ponto de mínimo local.

Passo 7

Para os pontos exatos, vamos substituir esses valores na função :
Então, temos um máximo local em e um mínimo local em .

Passo 8

Vamos agora encontrar a segunda derivada para identificar os pontos de inflexão e a concavidade da função. A segunda derivada é:

Passo 9

Encontramos onde :
Esse é o ponto onde a concavidade pode mudar.

Passo 10

Vamos testar a segunda derivada nos intervalos ao redor de :
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo :

Passo 11

Assim, a função é:
  • Concava para baixo em
  • Concava para cima em
E tem um ponto de inflexão em . Calculando :
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 12

Por último, para esboçar o gráfico, juntamos todas essas informações:
  • Crescente em e
  • Decrescente em
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
  • Concavo para baixo em
  • Concavo para cima em
  • Ponto de inflexão em

Resposta

A função tem:
  • Intervalos de crescimento: e
  • Intervalos de decrescimento:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
  • Concavidade para baixo em
  • Concavidade para cima em
  • Ponto de inflexão em
E o gráfico da função segue essas características.

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