Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de
.
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo diferencial, especificamente o uso das derivadas primeira e segunda para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, localizar máximos e mínimos locais, identificar pontos de inflexão e determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada primeira de
, que nos ajudará a encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. A derivada primeira
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes para determinar máximos e mínimos locais. Igualando
a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo analisando o sinal da derivada primeira
.
-
Para
, escolhemos um valor, por exemplo, : Portanto, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Para
, escolhemos : A função continua decrescendo nesse intervalo. -
Para
, escolhemos : A função ainda está decrescendo nesse intervalo.
Na verdade, houve um erro na análise anterior. Vamos refazer a análise de sinais.
Vamos fatorar
:
Agora, analisando os sinais:
- Para
, ambos os fatores são negativos, então é positivo. - Para
, um fator é positivo e o outro é negativo, então é negativo. - Para
, ambos os fatores são positivos, então é positivo.
Portanto:
-
para e (função crescente). -
para (função decrescente).
Passo 5
Vamos identificar os máximos e mínimos locais usando o teste da derivada primeira.
-
Em
: - Antes de
, . - Depois de
, . - Sinal muda de positivo para negativo, indicando um máximo local.
- Antes de
-
Em
: - Antes de
, . - Depois de
, . - Sinal muda de negativo para positivo, indicando um mínimo local.
- Antes de
Portanto:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada segunda
para analisar a concavidade da função e encontrar pontos de inflexão.
Passo 7
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a derivada segunda a zero:
Portanto, existe um ponto de inflexão em
.
Passo 8
Vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo analisando o sinal da derivada segunda
.
-
Para
: A função é côncava para baixo. -
Para
: A função é côncava para cima.
Passo 9
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
considerando os seguintes pontos:
- Pontos críticos:
(máximo local) e (mínimo local). - Ponto de inflexão:
. - Comportamento da função:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente no intervalo
. - Côncava para baixo em
e côncava para cima em .
- Crescente nos intervalos
O esboço mostrará a curva passando por esses pontos, com as variações de concavidade e crescimento/decréscimo conforme calculado.
Resposta
- Intervalos de crescimento:
e . - Intervalo de decrescimento:
. - Máximo local: Em
. - Mínimo local: Em
. - Ponto de inflexão: Em
. - Concavidade:
- Para baixo em
. - Para cima em
.
- Para baixo em
- Esboço do gráfico: Conforme descrito no Passo 9.
Exercícios relacionados
Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L
,