Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo diferencial, especificamente o uso das derivadas primeira e segunda para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, localizar máximos e mínimos locais, identificar pontos de inflexão e determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada primeira de , que nos ajudará a encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. A derivada primeira é dada por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes para determinar máximos e mínimos locais. Igualando a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo analisando o sinal da derivada primeira .
  • Para , escolhemos um valor, por exemplo, :
    Portanto, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para , escolhemos :
    A função continua decrescendo nesse intervalo.
  • Para , escolhemos :
    A função ainda está decrescendo nesse intervalo.
Na verdade, houve um erro na análise anterior. Vamos refazer a análise de sinais.
Vamos fatorar :
Agora, analisando os sinais:
  • Para , ambos os fatores são negativos, então é positivo.
  • Para , um fator é positivo e o outro é negativo, então é negativo.
  • Para , ambos os fatores são positivos, então é positivo.
Portanto:
  • para e (função crescente).
  • para (função decrescente).

Passo 5

Vamos identificar os máximos e mínimos locais usando o teste da derivada primeira.
  • Em :
    • Antes de , .
    • Depois de , .
    • Sinal muda de positivo para negativo, indicando um máximo local.
  • Em :
    • Antes de , .
    • Depois de , .
    • Sinal muda de negativo para positivo, indicando um mínimo local.
Portanto:
  • Máximo local em .
  • Mínimo local em .

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada segunda para analisar a concavidade da função e encontrar pontos de inflexão.

Passo 7

Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a derivada segunda a zero:
Portanto, existe um ponto de inflexão em .

Passo 8

Vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo analisando o sinal da derivada segunda .
  • Para :
    A função é côncava para baixo.
  • Para :
    A função é côncava para cima.

Passo 9

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função considerando os seguintes pontos:
  • Pontos críticos: (máximo local) e (mínimo local).
  • Ponto de inflexão: .
  • Comportamento da função:
    • Crescente nos intervalos e .
    • Decrescente no intervalo .
    • Côncava para baixo em e côncava para cima em .
O esboço mostrará a curva passando por esses pontos, com as variações de concavidade e crescimento/decréscimo conforme calculado.

Resposta

  • Intervalos de crescimento: e .
  • Intervalo de decrescimento: .
  • Máximo local: Em .
  • Mínimo local: Em .
  • Ponto de inflexão: Em .
  • Concavidade:
    • Para baixo em .
    • Para cima em .
  • Esboço do gráfico: Conforme descrito no Passo 9.

Exercícios relacionados

Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L ,