Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de
.
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função
. Vamos precisar usar derivadas para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, identificar máximos e mínimos locais, encontrar pontos de inflexão e descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo. No final, vamos esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
para analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto.
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde
porque esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis máximos ou mínimos locais.
Resolvendo
:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Fatorando:
Então,
e
.
Passo 4
Vamos agora analisar os intervalos determinando se a função está crescendo ou decrescendo. Escolhemos intervalos definidos pelos pontos críticos
e
:
- Para
, vamos escolher : - Para
, escolhemos : - Para
, escolhemos :
Passo 5
Com isso, identificamos que:
- A função é decrescente em
e . - A função é crescente em
.
Passo 6
Agora, vamos identificar os pontos de máximos e mínimos locais usando o teste da primeira derivada. Sabemos que:
- Em
, a derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local. - Em
, a derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local.
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
para analisar concavidade e pontos de inflexão.
Calculando a segunda derivada:
Passo 8
Encontramos onde
para localizar possíveis pontos de inflexão:
Passo 9
Vamos analisar a concavidade nos intervalos definidos por
:
- Para
, escolhemos : - Para
, escolhemos :
Passo 10
Assim, temos que:
- A função é côncava para cima em
. - A função é côncava para baixo em
. - Há um ponto de inflexão em
.
Passo 11
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função considerando:
- Os intervalos de crescimento e decrescimento.
- Os pontos de máximos e mínimos locais (
mínimo e máximo). - O ponto de inflexão em
. - A concavidade da função nos respectivos intervalos.
Resposta
A função
apresenta:
- Crescente em
e decrescente em e . - Mínimo local em
e máximo local em . - Concavidade para cima em
e concavidade para baixo em . - Ponto de inflexão em
. - O gráfico segue essas características conforme esboçado.
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Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L
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