Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função . Vamos precisar usar derivadas para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, identificar máximos e mínimos locais, encontrar pontos de inflexão e descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo. No final, vamos esboçar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de para analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto.
Calculando a primeira derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde porque esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis máximos ou mínimos locais.
Resolvendo :
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Fatorando:
Então, e .

Passo 4

Vamos agora analisar os intervalos determinando se a função está crescendo ou decrescendo. Escolhemos intervalos definidos pelos pontos críticos e :
  • Para , vamos escolher :
  • Para , escolhemos :
  • Para , escolhemos :

Passo 5

Com isso, identificamos que:
  • A função é decrescente em e .
  • A função é crescente em .

Passo 6

Agora, vamos identificar os pontos de máximos e mínimos locais usando o teste da primeira derivada. Sabemos que:
  • Em , a derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
  • Em , a derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local.
Vamos calcular os valores de nesses pontos:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar concavidade e pontos de inflexão.
Calculando a segunda derivada:

Passo 8

Encontramos onde para localizar possíveis pontos de inflexão:

Passo 9

Vamos analisar a concavidade nos intervalos definidos por :
  • Para , escolhemos : ô
  • Para , escolhemos : ô

Passo 10

Assim, temos que:
  • A função é côncava para cima em .
  • A função é côncava para baixo em .
  • Há um ponto de inflexão em .

Passo 11

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função considerando:
  • Os intervalos de crescimento e decrescimento.
  • Os pontos de máximos e mínimos locais ( mínimo e máximo).
  • O ponto de inflexão em .
  • A concavidade da função nos respectivos intervalos.

Resposta

A função apresenta:
  • Crescente em e decrescente em e .
  • Mínimo local em e máximo local em .
  • Concavidade para cima em e concavidade para baixo em .
  • Ponto de inflexão em .
  • O gráfico segue essas características conforme esboçado.

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Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
.
Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L ,