.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
definida no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente derivadas para encontrar os pontos máximos e mínimos da função nesse intervalo. Então, precisamos calcular a derivada da função, achar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, e depois avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo para descobrir os valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
. Para isso, usamos a regra da derivada de uma função fracionária, que é:
onde
e
.
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe.
Olha só a derivada que achamos:
A derivada nunca será zero porque o numerador é sempre
. Porém, ela não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
ou seja,
.
Então, temos um ponto crítico em
. Mas precisamos verificar se esse ponto está dentro do intervalo
. Sim,
está dentro desse intervalo.
Passo 4
Vamos agora avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Primeiro, as extremidades do intervalo são
e
.
Calculando:
Para
:
Para
:
Agora, para o ponto
, precisamos analisar o comportamento próximo a esse ponto, já que a função não está definida exatamente em
(tem uma assíntota vertical ali).
Passo 5
Analisando o comportamento próximo a
:
- Quando
se aproxima de pela esquerda ( ):
- Quando
se aproxima de pela direita ( ):
Isso mostra que
não contribui com um valor máximo ou mínimo definido no intervalo.
Passo 6
Comparando os valores obtidos:
O menor valor é
e o maior valor é
.
Resposta
No intervalo
, a função
tem:
- Mínimo de
em - Máximo de
em
Exercícios relacionados
Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L
,
Calcule
Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de