.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente derivadas para encontrar os pontos máximos e mínimos da função nesse intervalo. Então, precisamos calcular a derivada da função, achar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, e depois avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo para descobrir os valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de . Para isso, usamos a regra da derivada de uma função fracionária, que é:
onde e .
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe.
Olha só a derivada que achamos:
A derivada nunca será zero porque o numerador é sempre . Porém, ela não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando ou seja, .
Então, temos um ponto crítico em . Mas precisamos verificar se esse ponto está dentro do intervalo . Sim, está dentro desse intervalo.

Passo 4

Vamos agora avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Primeiro, as extremidades do intervalo são e .
Calculando:
Para :
Para :
Agora, para o ponto , precisamos analisar o comportamento próximo a esse ponto, já que a função não está definida exatamente em (tem uma assíntota vertical ali).

Passo 5

Analisando o comportamento próximo a :
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ):
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
Isso mostra que não contribui com um valor máximo ou mínimo definido no intervalo.

Passo 6

Comparando os valores obtidos:
O menor valor é e o maior valor é .

Resposta

No intervalo , a função tem:
  • Mínimo de em
  • Máximo de em

Exercícios relacionados

Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L ,
Calcule
.
Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,