Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L lim x 1^+(1x-1-1ln x),

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai usar a Regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos indeterminações do tipo ou . Precisamos entender como as funções se comportam perto de e aplicar essa regra para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Podemos combinar as frações em um único denominador:
1x-1 - 1ln x = ln x - (x - 1)(x - 1) ln x
Agora, nosso limite fica:
limx 1^+ ln x - (x - 1)(x - 1) ln x

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 1:
  • e , então o numerador tende a .
  • tende a 0 e também tende a 0, então o denominador tende a .
Isso nos dá uma indeterminação do tipo , então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a limx 1^+ 1x - 1ln x + x - 1x :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador: (usando a regra do produto)
Agora, o limite fica:

Passo 5

Vamos avaliar o novo limite substituindo :
  • No numerador:
  • No denominador:
De novo, temos uma indeterminação . Precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Derivando novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: limx 1^+ -1x^21x + 1x^2
  • Derivada do denominador:
Agora, o limite é:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por -1x^2 div ( 1x + 1x^2 ) = -1x^2 times x^2x + 1 = -1x + 1 :
-11 + 1 = -12 = -12
Agora, substituímos :

Resposta

O limite é .

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