Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A gente vai usar a Regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos indeterminações do tipo
ou
. Precisamos entender como as funções se comportam perto de
e aplicar essa regra para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Podemos combinar as frações em um único denominador:
Agora, nosso limite fica:
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 1:
-
e , então o numerador tende a . -
tende a 0 e também tende a 0, então o denominador tende a .
Isso nos dá uma indeterminação do tipo
, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
(usando a regra do produto)
Agora, o limite fica:
Passo 5
Vamos avaliar o novo limite substituindo
:
- No numerador:
- No denominador:
De novo, temos uma indeterminação
. Precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 6
Derivando novamente o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Agora, o limite é:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por
:
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Para cada função nos itens abaixo calcule:
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IV. Esboce o gráfico de .
,
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III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de