Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai usar a Regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos indeterminações do tipo ou . Precisamos entender como as funções se comportam perto de e aplicar essa regra para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Podemos combinar as frações em um único denominador:
Agora, nosso limite fica:

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 1:
  • e , então o numerador tende a .
  • tende a 0 e também tende a 0, então o denominador tende a .
Isso nos dá uma indeterminação do tipo , então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador: (usando a regra do produto)
Agora, o limite fica:

Passo 5

Vamos avaliar o novo limite substituindo :
  • No numerador:
  • No denominador:
De novo, temos uma indeterminação . Precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Derivando novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Agora, o limite é:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por :
Agora, substituímos :

Resposta

O limite é .

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Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para
IV. Esboce o gráfico de .
,
Para cada função nos itens abaixo calcule:
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou derivada;
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IV. Esboce o gráfico de .
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