Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=-\left|x^{2}-6 x+8\right|+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de limite, interceptos com os eixos OX e OY, assíntotas e discutir a continuidade da função. Vamos precisar entender como interpretar o valor absoluto e como isso afeta o gráfico da função quadrática dentro dele.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos com o eixo OX (quando ) e com o eixo OY (quando ).
Intercepto com OY:
Para encontrar onde a função corta o eixo Y, colocamos :
Então, o intercepto com o Y é o ponto .
Interceptos com OX:
Para encontrar onde a função corta o eixo X, resolvemos :
Isso significa que a expressão dentro do valor absoluto pode ser igual a 1 ou -1:
Resolvendo cada equação:
Então, os interceptos com OX são e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função tem assíntotas horizontais ou verticais.
Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais são limites da função quando tende a ou .
Não há assíntotas horizontais porque a função tende a nos dois lados.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a para algum valor finito de . Nossa função é um polinômio dentro de um valor absoluto, então não há divisões por zero ou logaritmos que possam causar assíntotas verticais. Portanto, não há assíntotas verticais.

Passo 4

Vamos discutir a continuidade da função.
A função é composta por um polinômio dentro de um valor absoluto, que é uma operação contínua. A soma e multiplicação por constantes também preservam a continuidade. Além disso, não há pontos onde a função não esteja definida. Portanto, a função é contínua para todo .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função.
  • Intercepto com OY:
  • Interceptos com OX: e
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Continuidade: A função é contínua em todo o domínio.
O gráfico será uma parábola invertida devido ao sinal negativo na frente do valor absoluto, deslocada para cima em 1 unidade. Os interceptos com os eixos e a ausência de assíntotas ajudarão a desenhar o formato correto.

Resposta

Os interceptos da função são , e . A função não possui assíntotas horizontais nem verticais e é contínua para todo . O gráfico é uma parábola invertida discutida acima.

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