Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=-\left|x^{2}-6 x+8\right|+1
f(x)=-\left|x^{2}-6 x+8\right|+1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de limite, interceptos com os eixos OX e OY, assíntotas e discutir a continuidade da função. Vamos precisar entender como interpretar o valor absoluto e como isso afeta o gráfico da função quadrática dentro dele.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos com o eixo OX (quando
) e com o eixo OY (quando
).
Intercepto com OY:
Para encontrar onde a função corta o eixo Y, colocamos :
Para encontrar onde a função corta o eixo Y, colocamos
Então, o intercepto com o Y é o ponto
.
Interceptos com OX:
Para encontrar onde a função corta o eixo X, resolvemos :
Para encontrar onde a função corta o eixo X, resolvemos
Isso significa que a expressão dentro do valor absoluto pode ser igual a 1 ou -1:
Resolvendo cada equação:
Então, os interceptos com OX são
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função tem assíntotas horizontais ou verticais.
Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais são limites da função quando tende a
ou
.
Assíntotas horizontais são limites da função quando
Não há assíntotas horizontais porque a função tende a
nos dois lados.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a para algum valor finito de
. Nossa função é um polinômio dentro de um valor absoluto, então não há divisões por zero ou logaritmos que possam causar assíntotas verticais. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a
Passo 4
Vamos discutir a continuidade da função.
A função
é composta por um polinômio dentro de um valor absoluto, que é uma operação contínua. A soma e multiplicação por constantes também preservam a continuidade. Além disso, não há pontos onde a função não esteja definida. Portanto, a função
é contínua para todo
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função.
- Intercepto com OY:
- Interceptos com OX:
e - Assíntotas: Nenhuma
- Continuidade: A função é contínua em todo o domínio.
O gráfico será uma parábola invertida devido ao sinal negativo na frente do valor absoluto, deslocada para cima em 1 unidade. Os interceptos com os eixos e a ausência de assíntotas ajudarão a desenhar o formato correto.
Resposta
Os interceptos da função
são
,
e
. A função não possui assíntotas horizontais nem verticais e é contínua para todo
. O gráfico é uma parábola invertida discutida acima.