Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função usando conceitos de limite, encontrar os interceptos com os eixos
e
, identificar assíntotas horizontais e verticais (se tiverem) e discutir a continuidade da função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e como elas se comportam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intercepto com o eixo
. O intercepto com o
acontece quando
. Vamos calcular:
Então, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Passo 3
Agora, vamos ver se a função tem interceptos com o eixo
. Isso acontece quando
. Vamos resolver a equação:
Mas sabemos que a função seno só varia entre -1 e 1. Como 3 está fora desse intervalo, não existe valor de
que satisfaça essa equação. Portanto, a função não tem interceptos com o eixo
.
Passo 4
Vamos procurar assíntotas horizontais e verticais. Assíntotas são linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca.
-
Assíntotas Verticais: Geralmente aparecem em funções que têm divisão por zero ou comportamentos explosivos, como
. Nossa função é uma função seno modificada e não tem denominador que possa ser zero, então não há assíntotas verticais. -
Assíntotas Horizontais: São linhas horizontais que o gráfico se aproxima quando
vai para ou . A função seno oscila entre -1 e 1, então oscila entre e . Assim, a função não se estabiliza em um único valor quando cresce, não havendo assíntotas horizontais.
Passo 5
Vamos discutir a continuidade da função. Uma função é contínua se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no gráfico.
A função seno é contínua em todos os números reais, e operações como adição e multiplicação por constantes também preservam a continuidade. Então, é contínua em todo o seu domínio, que é todos os números reais (
).
Passo 6
Por fim, vamos entender como é o gráfico dessa função. A função tem uma frequência dobrada, o que significa que seu período é
em vez de
. Ao subtrair essa função de 3, estamos deslocando o gráfico 3 unidades para cima. Então, o gráfico de é uma onda senoidal que oscila entre 2 e 4, com período
, e está sempre centrada na linha
.
Resposta
A função possui:
- Intercepto com o eixo
: - Sem interceptos com o eixo
- Sem assíntotas verticais ou horizontais
- Continuidade: Contínua para todo
O gráfico é uma senoide deslocada 3 unidades para cima, oscilando entre 2 e 4, com período
.
Exercícios relacionados
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-11=0
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-11=0
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.