Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve o conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o denominador se aproxima de zero no ponto . Substituindo:
Também o numerador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos investigar mais a fundo para ver se o limite existe ou não.

Passo 3

Uma maneira de investigar é escolher caminhos diferentes pelos quais podemos nos aproximar de e ver se o limite é o mesmo em todos esses caminhos.
Primeiro Caminho: Vamos aproximar-nos ao longo da linha .
Substituindo na função:
Ainda está indeterminado, então vamos tentar simplificar.
Segundo Caminho: Vamos aproximar-nos mantendo fixo e deixando se aproximar de 1.
Substituindo :
Agora, ao deixar se aproximar de 1:
Então, nesse caminho, o limite é .

Passo 4

Vamos verificar outro caminho para ter certeza. Vamos aproximar-nos mantendo fixo e deixando se aproximar de 2.
Substituindo :
Simplificando:
Agora, ao deixar se aproximar de 2:
Então, nesse caminho também, o limite é .

Passo 5

Como nos dois caminhos que escolhemos, o limite chegou a , podemos suspeitar que o limite geral também seja esse. Para confirmar, podemos considerar que a função se comporta de maneira consistente ao nos aproximarmos de por qualquer caminho. Como não encontramos contradições, concluímos que o limite existe e é igual a .

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-11=0
Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.
Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\operatorname{sen}(x)