Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,2) 2 x-y4 x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve o conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o denominador se aproxima de zero no ponto 4(1)^2 - (2)^2 = 4 - 4 = 0 . Substituindo:
2(1) - 2 = 0
Também o numerador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos investigar mais a fundo para ver se o limite existe ou não.

Passo 3

Uma maneira de investigar é escolher caminhos diferentes pelos quais podemos nos aproximar de 2x - 2x4x^2 - (2x)^2 = 04x^2 - 4x^2 = 00 e ver se o limite é o mesmo em todos esses caminhos.
Primeiro Caminho: Vamos aproximar-nos ao longo da linha 2x - 24x^2 - 4 = 2(x - 1)4(x^2 - 1) = 2(x - 1)4(x - 1)(x + 1) = 24(x + 1) = 12(x + 1) .
Substituindo 12(1 + 1) = 14 na função:
Ainda está indeterminado, então vamos tentar simplificar.
Segundo Caminho: Vamos aproximar-nos mantendo fixo e deixando se aproximar de 1.
Substituindo :
Agora, ao deixar se aproximar de 1:
Então, nesse caminho, o limite é .

Passo 4

Vamos verificar outro caminho para ter certeza. Vamos aproximar-nos mantendo 2(1) - y4(1)^2 - y^2 = 2 - y4 - y^2 fixo e deixando 2 - y4 - y^2 = -(y - 2)-(y + 2)(y - 2) = 1y + 2 se aproximar de 2.
Substituindo 12 + 2 = 14 :
Simplificando:
Agora, ao deixar se aproximar de 2:
Então, nesse caminho também, o limite é .

Passo 5

Como nos dois caminhos que escolhemos, o limite chegou a , podemos suspeitar que o limite geral também seja esse. Para confirmar, podemos considerar que a função se comporta de maneira consistente ao nos aproximarmos de por qualquer caminho. Como não encontramos contradições, concluímos que o limite existe e é igual a .

Resposta

O limite é .

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