Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso envolve o conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o denominador se aproxima de zero no ponto
. Substituindo:
Também o numerador:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos investigar mais a fundo para ver se o limite existe ou não.
Passo 3
Uma maneira de investigar é escolher caminhos diferentes pelos quais podemos nos aproximar de
e ver se o limite é o mesmo em todos esses caminhos.
Primeiro Caminho: Vamos aproximar-nos ao longo da linha
.
Substituindo
na função:
Ainda está indeterminado, então vamos tentar simplificar.
Segundo Caminho: Vamos aproximar-nos mantendo
fixo e deixando
se aproximar de 1.
Substituindo
:
Agora, ao deixar
se aproximar de 1:
Então, nesse caminho, o limite é
.
Passo 4
Vamos verificar outro caminho para ter certeza. Vamos aproximar-nos mantendo
fixo e deixando
se aproximar de 2.
Substituindo
:
Simplificando:
Agora, ao deixar
se aproximar de 2:
Então, nesse caminho também, o limite é
.
Passo 5
Como nos dois caminhos que escolhemos, o limite chegou a
, podemos suspeitar que o limite geral também seja esse. Para confirmar, podemos considerar que a função se comporta de maneira consistente ao nos aproximarmos de
por qualquer caminho. Como não encontramos contradições, concluímos que o limite existe e é igual a
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)
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x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-11=0
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f(x)=\operatorname{sen}(x)
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