Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-11=0
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-11=0
Passo 1
Então, estamos lidando com o exercício que nos pede para obter as equações reduzidas e identificar a cônica da seguinte equação:
Vamos usar conhecimentos sobre cônicas, especificamente sobre hipérboles e elipses, e aplicar o método de completar o quadrado para transformar a equação geral em uma forma mais simples e reconhecível.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
separadamente. Vamos começar com os termos de
:
Para completar o quadrado de
, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
que é -4:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os números:
Subtraindo 15 de ambos os lados:
Passo 6
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por -4:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Passo 7
Agora, vamos identificar a cônica. A equação final está na forma:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole vertical, onde:
- O centro está em
-
então -
então
Resposta
As equações reduzidas da cônica são:
E identificamos que a cônica apresentada é uma hipérbole.
Exercícios relacionados
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=1+\sqrt{1-x^{2}}
f(x)=1+\sqrt{1-x^{2}}
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.