Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir qual é o maior conjunto onde a função é contínua. Isso tá dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente lidando com funções de várias variáveis e suas continuidades. Pra resolver, a gente vai precisar entender onde a função está definida e identificar possíveis pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da função :
  • O numerador é . Como a função exponencial é contínua para todo número real , o numerador está sempre definido e contínuo para qualquer valor de e .

Passo 3

Agora, o denominador é . Precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é definida. Então, vamos encontrar onde :
Sabemos que , então:
Isso acontece quando ou .

Passo 4

Portanto, a função não está definida quando ou . Esses são os pontos onde a função pode ter descontinuidade. Fora desses pontos, como o numerador e o denominador são funções contínuas e o denominador não é zero, a função também é contínua.

Passo 5

Então, para encontrar o maior conjunto onde é contínua, precisamos excluir os pontos onde ou . Isso significa que a função é contínua em todo o plano exceto nas linhas onde ou .

Resposta

O maior conjunto onde a função é contínua é todo o plano menos os pontos onde ou . Em outras palavras:

Exercícios relacionados

Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=1+\sqrt{1-x^{2}}
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-11=0
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)