Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir qual é o maior conjunto onde a função
é contínua. Isso tá dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente lidando com funções de várias variáveis e suas continuidades. Pra resolver, a gente vai precisar entender onde a função está definida e identificar possíveis pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da função
:
- O numerador é
. Como a função exponencial é contínua para todo número real , o numerador está sempre definido e contínuo para qualquer valor de e .
Passo 3
Agora, o denominador é
. Precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é definida. Então, vamos encontrar onde
:
Sabemos que
, então:
Isso acontece quando
ou
.
Passo 4
Portanto, a função
não está definida quando
ou
. Esses são os pontos onde a função pode ter descontinuidade. Fora desses pontos, como o numerador e o denominador são funções contínuas e o denominador não é zero, a função
também é contínua.
Passo 5
Então, para encontrar o maior conjunto onde
é contínua, precisamos excluir os pontos onde
ou
. Isso significa que a função é contínua em todo o plano
exceto nas linhas onde
ou
.
Resposta
O maior conjunto onde a função
é contínua é todo o plano
menos os pontos onde
ou
. Em outras palavras:
Exercícios relacionados
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=1+\sqrt{1-x^{2}}
f(x)=1+\sqrt{1-x^{2}}
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-11=0
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-11=0
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)
f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)