Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto. O enunciado pede para encontrar o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender como usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a determinar limites quando conseguimos “prender” a função entre duas outras que têm limites conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da fração. No numerador, temos , que é sempre não negativo porque estamos elevando ao quadrado. No denominador, temos , que também é sempre não negativo e será zero somente quando .

Passo 3

Queremos encontrar limites, então precisamos encontrar uma maneira de “apertar” nossa função entre duas funções mais simples. Observamos que é menor ou igual a porque cada termo ao quadrado no numerador está sendo multiplicado.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso é útil porque sabemos que tende a 0 quando tende a .

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Sabemos que:
e
Como nossa função está “presa” entre 0 e , o Teorema do Confronto nos diz que o limite também é 0.

Resposta

O limite é igual a .

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Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
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f(x)=3-\operatorname{sen}(2 x)
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f(x)=\operatorname{sen}(x)
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