Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.
lim (x, y, z) (0,0,0) x^2 y^2 z^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto. O enunciado pede para encontrar o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender como usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a determinar limites quando conseguimos “prender” a função entre duas outras que têm limites conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da fração. No numerador, temos , que é sempre não negativo porque estamos elevando ao quadrado. No denominador, temos , que também é sempre não negativo e será zero somente quando .

Passo 3

Queremos encontrar limites, então precisamos encontrar uma maneira de “apertar” nossa função entre duas funções mais simples. Observamos que é menor ou igual a porque cada termo ao quadrado no numerador está sendo multiplicado.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 0 <= x^2 y^2 z^2x^2+y^2+z^2 <= (x^2+y^2+z^2)^2 , temos:
Isso é útil porque sabemos que tende a 0 quando tende a .

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Sabemos que:
lim(x, y, z) to (0,0,0) 0 = 0
e
lim(x, y, z) to (0,0,0) (x^2+y^2+z^2)^2 = 0
Como nossa função está “presa” entre 0 e , o Teorema do Confronto nos diz que o limite também é 0.

Resposta

O limite é igual a .

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