Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto. O enunciado pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos precisar entender como usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a determinar limites quando conseguimos “prender” a função entre duas outras que têm limites conhecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da fração. No numerador, temos
, que é sempre não negativo porque estamos elevando ao quadrado. No denominador, temos
, que também é sempre não negativo e será zero somente quando
.
Passo 3
Queremos encontrar limites, então precisamos encontrar uma maneira de “apertar” nossa função entre duas funções mais simples. Observamos que
é menor ou igual a
porque cada termo ao quadrado no numerador está sendo multiplicado.
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso é útil porque sabemos que
tende a 0 quando
tende a
.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Sabemos que:
e
Como nossa função está “presa” entre 0 e
, o Teorema do Confronto nos diz que o limite também é 0.
Resposta
O limite é igual a
.