Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\sqrt{x-1}+1
f(x)=\sqrt{x-1}+1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
usando conceitos de limite para fazer o esboço do gráfico. Vamos encontrar os interceptos com os eixos OX e OY, verificar se existem assíntotas horizontais ou verticais, e discutir a continuidade da função. Para isso, vamos precisar entender o domínio da função, calcular alguns limites e verificar onde a função pode ter quebras ou comportamentos especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser positivo ou zero:
Então, o domínio é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
Intercepto OY: É onde a função cruza o eixo
(quando
). Porém, nosso domínio é
, então não existe intercepto com o eixo
.
Intercepto OX: É onde a função cruza o eixo
(quando
):
Isso não tem solução real, já que a raiz quadrada não pode ser negativa. Então, não há intercepto com o eixo
.
Passo 4
Vamos verificar se existem assíntotas.
Assíntota vertical: Geralmente ocorre onde a função não está definida, mas nosso domínio já começa em
e não há divisão por zero ou logaritmo de zero, então não há assíntota vertical.
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função para
indo para
:
Como o limite vai para o infinito, não há assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos discutir a continuidade da função. A função
é composta por funções contínuas (a raiz quadrada e uma constante) no seu domínio
. Portanto,
é contínua em todo o seu domínio.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Domínio:
- Interceptos: Nenhum com os eixos
e - Assíntotas: Nenhuma
- Continuidade: Contínua para
O gráfico será uma curva que começa em
, onde
, e cresce indefinidamente conforme
aumenta.
Resposta
A função
está definida para
, não possui interceptos com os eixos
e
, não tem assíntotas horizontais ou verticais, e é contínua em todo o seu domínio. O gráfico começa no ponto
e cresce indefinidamente conforme
aumenta.
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.
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