Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\sqrt{x-1}+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função usando conceitos de limite para fazer o esboço do gráfico. Vamos encontrar os interceptos com os eixos OX e OY, verificar se existem assíntotas horizontais ou verticais, e discutir a continuidade da função. Para isso, vamos precisar entender o domínio da função, calcular alguns limites e verificar onde a função pode ter quebras ou comportamentos especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser positivo ou zero:
Então, o domínio é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
Intercepto OY: É onde a função cruza o eixo (quando ). Porém, nosso domínio é , então não existe intercepto com o eixo .
Intercepto OX: É onde a função cruza o eixo (quando ):
Isso não tem solução real, já que a raiz quadrada não pode ser negativa. Então, não há intercepto com o eixo .

Passo 4

Vamos verificar se existem assíntotas.
Assíntota vertical: Geralmente ocorre onde a função não está definida, mas nosso domínio já começa em e não há divisão por zero ou logaritmo de zero, então não há assíntota vertical.
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função para indo para :
Como o limite vai para o infinito, não há assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos discutir a continuidade da função. A função é composta por funções contínuas (a raiz quadrada e uma constante) no seu domínio . Portanto, é contínua em todo o seu domínio.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Domínio:
  • Interceptos: Nenhum com os eixos e
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Continuidade: Contínua para
O gráfico será uma curva que começa em , onde , e cresce indefinidamente conforme aumenta.

Resposta

A função está definida para , não possui interceptos com os eixos e , não tem assíntotas horizontais ou verticais, e é contínua em todo o seu domínio. O gráfico começa no ponto e cresce indefinidamente conforme aumenta.

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