Determine se é verdadeiro ou falso a seguinte igualdade.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Esse problema está relacionado ao cálculo derivativo e ao valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que envolvem valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função que está dentro de um valor absoluto. Se temos , a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a derivada de depende do sinal de . Se for positivo, a derivada é , e se for negativo, a derivada é .
Passo 3
Aplicando essa regra ao nosso exercício, temos . Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Então, a derivada de é:
Passo 4
Ficou então:
Queremos comparar isso com . Para que a igualdade seja verdadeira, precisamos que:
Passo 5
Vamos analisar o termo . Esse termo representa o sinal de :
Se , então .
Se , então .
Portanto, a igualdade será verdadeira apenas quando , ou seja, quando .
Passo 6
Vamos encontrar os valores de onde :
Isso divide a reta real em três intervalos:
Passo 7
Vamos analisar cada intervalo:
Para :
(por exemplo, : )
Então,
A derivada fica:
Já porque neste intervalo
Portanto, aqui
Para :
(por exemplo, : )
Então,
A derivada fica:
Já porque neste intervalo
Portanto, aqui
Para :
(por exemplo, : )
Então,
A derivada fica:
Já porque neste intervalo
Portanto, aqui
Resposta
A igualdade é falsa para e verdadeira para e . Portanto, a afirmação geral é falsa.