Determine se é verdadeiro ou falso a seguinte igualdade.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Esse problema está relacionado ao cálculo derivativo e ao valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que envolvem valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função que está dentro de um valor absoluto. Se temos , a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a derivada de depende do sinal de . Se for positivo, a derivada é , e se for negativo, a derivada é .

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso exercício, temos . Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Então, a derivada de é:

Passo 4

Ficou então:
Queremos comparar isso com . Para que a igualdade seja verdadeira, precisamos que:

Passo 5

Vamos analisar o termo . Esse termo representa o sinal de :
  • Se , então .
  • Se , então .
Portanto, a igualdade será verdadeira apenas quando , ou seja, quando .

Passo 6

Vamos encontrar os valores de onde :
Isso divide a reta real em três intervalos:

Passo 7

Vamos analisar cada intervalo:
  1. Para :
    • (por exemplo, : )
    • Então,
    • A derivada fica:
    • porque neste intervalo
    • Portanto, aqui
  2. Para :
    • (por exemplo, : )
    • Então,
    • A derivada fica:
    • porque neste intervalo
    • Portanto, aqui
  3. Para :
    • (por exemplo, : )
    • Então,
    • A derivada fica:
    • porque neste intervalo
    • Portanto, aqui

Resposta

A igualdade é falsa para e verdadeira para e . Portanto, a afirmação geral é falsa.

Exercícios relacionados

Determine a inversa de cada função, se existir.
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