Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa função
. O que a gente precisa fazer aqui é usar o conceito de limite para desenhar o gráfico dessa função. Vamos encontrar os interceptos com os eixos
e
, identificar possíveis assíntotas horizontais e verticais, e também discutir se a função é contínua. Para isso, vamos precisar dividir a função, resolver equações e analisar os limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o intercepto com o eixo
, que acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Passo 3
Agora, vamos achar os interceptos com o eixo
, ou seja, quando
. Vamos resolver a equação:
Primeiro, somamos 1 em ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por
(lembrando que
):
Simplificando:
Essa é uma equação quadrática que fatoramos como:
Então,
é a solução dupla. Portanto, o intercepto com o eixo
é
.
Passo 4
Vamos buscar as assíntotas verticais. Elas ocorrem onde o denominador da função é zero e o numerador não é zero. O denominador é
, então:
Vamos verificar o numerador para
e
:
Para
:
Para
:
Então, somente
é uma assíntota vertical, porque em
o numerador também é zero, indicando apenas uma interseção.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais usando o limite quando
tende ao infinito. Olhamos para os maiores graus do numerador e do denominador:
Então, a assíntota horizontal é a reta
.
Passo 6
Vamos discutir a continuidade da função. A função é composta por racionais e constantes, que são contínuas onde estão definidas. Porém, há descontinuidades em
, onde tem uma assíntota vertical, e em
, onde a função tem um ponto de interseção com o eixo
, mas a função pode não ser contínua ali dependendo da definição. No caso, como
cancela no numerador e denominador, a função é contínua em todo o domínio, exceto em
, onde há uma descontinuidade vertical.
Resposta
O gráfico da função
possui:
- Intercepto com
em - Intercepto com
em - Assíntota vertical em
- Assíntota horizontal em
- Continuidade em todo o domínio, exceto em
Com esses elementos, é possível esboçar o gráfico da função.