Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade. f(x) = (2(x^2 + x) / (x^2 - 1)) - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa função . O que a gente precisa fazer aqui é usar o conceito de limite para desenhar o gráfico dessa função. Vamos encontrar os interceptos com os eixos e , identificar possíveis assíntotas horizontais e verticais, e também discutir se a função é contínua. Para isso, vamos precisar dividir a função, resolver equações e analisar os limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o intercepto com o eixo , que acontece quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo é o ponto .

Passo 3

Agora, vamos achar os interceptos com o eixo , ou seja, quando . Vamos resolver a equação:
Primeiro, somamos 1 em ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por (lembrando que ):
Simplificando:
Essa é uma equação quadrática que fatoramos como:
Então, é a solução dupla. Portanto, o intercepto com o eixo é .

Passo 4

Vamos buscar as assíntotas verticais. Elas ocorrem onde o denominador da função é zero e o numerador não é zero. O denominador é , então:
Vamos verificar o numerador para e :
Para :
Para :
Então, somente é uma assíntota vertical, porque em o numerador também é zero, indicando apenas uma interseção.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais usando o limite quando tende ao infinito. Olhamos para os maiores graus do numerador e do denominador:
Então, a assíntota horizontal é a reta .

Passo 6

Vamos discutir a continuidade da função. A função é composta por racionais e constantes, que são contínuas onde estão definidas. Porém, há descontinuidades em , onde tem uma assíntota vertical, e em , onde a função tem um ponto de interseção com o eixo , mas a função pode não ser contínua ali dependendo da definição. No caso, como cancela no numerador e denominador, a função é contínua em todo o domínio, exceto em , onde há uma descontinuidade vertical.

Resposta

O gráfico da função possui:
  • Intercepto com em
  • Intercepto com em
  • Assíntota vertical em
  • Assíntota horizontal em
  • Continuidade em todo o domínio, exceto em
Com esses elementos, é possível esboçar o gráfico da função.

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