Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas
, orientadas positivamente.
é a fronteira da região limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral ao longo de uma curva
, que é a fronteira da região delimitada por
e
. Isso envolve cálculo de integrais de linha, um tópico de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de linha, campos vetoriais e, possivelmente, o Teorema de Green para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região limitada pelas curvas
e
. Essa região está entre essas duas curvas horizontais.
Passo 3
Vamos reescrever a integral dada:
Isso pode ser visto como uma integral de linha de um campo vetorial
.
Passo 4
Para facilitar o cálculo, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green diz:
onde
e
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Substituindo no Teorema de Green:
Perceba que os termos com
e
se cancelam, restando apenas 2.
Passo 7
Agora, precisamos calcular a área da região
. A região está limitada por
e
. Vamos encontrar os limites para
:
Então,
varia de -1 a 1.
Passo 8
A integral dupla fica:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.