Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C, orientadas positivamente. integralC x^-1 e^y d x+(e^y ln x+2 x) d y ; C é a fronteira da região limitada por x=y^4+1 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral ao longo de uma curva , que é a fronteira da região delimitada por e . Isso envolve cálculo de integrais de linha, um tópico de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de linha, campos vetoriais e, possivelmente, o Teorema de Green para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região limitada pelas curvas e . Essa região está entre essas duas curvas horizontais.

Passo 3

Vamos reescrever a integral dada:
integralC ( x^-1 e^y , dx + (e^y ln x + 2x) dy )
Isso pode ser visto como uma integral de linha de um campo vetorial .

Passo 4

Para facilitar o cálculo, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green diz:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( e^y ln x + 2x ) = e^y cdot 1x + 2
partial Ppartial y = partialpartial y ( x^-1 e^y ) = x^-1 e^y

Passo 6

Substituindo no Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD ( e^y cdot 1x + 2 - x^-1 e^y ) dA = integral duplaD 2 , dA
Perceba que os termos com e se cancelam, restando apenas 2.

Passo 7

Agora, precisamos calcular a área da região 2 = y^4 + 1 implies y^4 = 1 implies y = pm 1 . A região está limitada por e . Vamos encontrar os limites para :
Então, varia de -1 a 1.

Passo 8

A integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dA = 2 integral-1^1 integraly^4 + 1^2 dx , dy
Primeiro, integramos em relação a integraly^4 + 1^2 dx = 2 - (y^4 + 1) = 1 - y^4 :

Passo 9

Agora, integramos em relação a 2 integral-1^1 (1 - y^4) , dy = 2 [ integral-1^1 1 , dy - integral-1^1 y^4 , dy ] :
= 2 [ (y)-1^1 - ( y^55 )-1^1 ] = 2 [ (1 - (-1)) - ( 15 - ( -15 ) ) ]
= 2 [ 2 - ( 25 ) ] = 2 ( 85 ) = 165

Resposta

O valor da integral é .

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