Determine uma função potencial para cada campo gradiente dado e calcule onde é qualquer caminho por partes do ponto até o ponto indicados, onde
e e .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. O problema pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial e calcular a integral de linha desse campo ao longo de qualquer caminho suave que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente e como encontrar sua função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é um campo gradiente se existir uma função escalar tal que . Isso significa que cada componente de é derivada parcial de em relação a uma das variáveis. Vamos usar isso para encontrar .

Passo 3

Escrevendo as igualdades a partir de :
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 4

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 5

Agora, vamos usar a equação :
Isso implica que . Integrando isso em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Agora, vamos usar a última equação :
Isso nos mostra que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante na função potencial.

Passo 7

Então, a função potencial é:
Simplificando:

Passo 8

Agora, para calcular a integral de linha , como é um campo gradiente, a integral depende apenas dos valores de nos pontos e :

Passo 9

Calculando em :
E em :

Resposta

A integral de linha é .

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