Determine uma função potencial para cada campo gradiente
dado e calcule
onde
é qualquer caminho
por partes do ponto
até o ponto
indicados, onde
e
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. O problema pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial
e calcular a integral de linha desse campo ao longo de qualquer caminho suave que vai do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente e como encontrar sua função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é um campo gradiente se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que cada componente de
é derivada parcial de
em relação a uma das variáveis. Vamos usar isso para encontrar
.
Passo 3
Escrevendo as igualdades a partir de
:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 5
Agora, vamos usar a equação
:
Isso implica que
. Integrando isso em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Agora, vamos usar a última equação
:
Isso nos mostra que
, então
é uma constante. Podemos ignorar essa constante na função potencial.
Passo 7
Então, a função potencial é:
Simplificando:
Passo 8
Agora, para calcular a integral de linha
, como
é um campo gradiente, a integral depende apenas dos valores de
nos pontos
e
:
Passo 9
Calculando
em
:
E em
:
Resposta
A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Determine uma função potencial para cada campo gradiente
dado e calcule
onde
é qualquer caminho
por partes do ponto
até o ponto
indicados, onde
seny,
e
e
.
Em qual ponto da curva
o plano normal é paralelo ao plano
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
Mostre que a curvatura
está relacionada com os vetores tangente e normal pela equação