Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado e calcule integralC F cdot d r onde C é qualquer caminho C^1 por partes do ponto A até o ponto B indicados, onde
F(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y) e A=(0,1,1) e B=(1,1,1).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. O problema pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial e calcular a integral de linha desse campo ao longo de qualquer caminho suave que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente e como encontrar sua função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é um campo gradiente se existir uma função escalar tal que . Isso significa que cada componente de é derivada parcial de em relação a uma das variáveis. Vamos usar isso para encontrar .

Passo 3

Escrevendo as igualdades a partir de partial phipartial x = y + z :
partial phipartial y = x + z
partial phipartial z = x + y
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 4

Integrando phi(x, y, z) = x(y + z) + g(y, z) em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 5

Agora, vamos usar a equação partialpartial y [x(y + z) + g(y, z)] = x + partial gpartial y = x + z :
g(y, z) = yz + h(z)
Isso implica que . Integrando isso em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Substituindo phi(x, y, z) = x(y + z) + yz + h(z) na expressão de partialpartial z [x(y + z) + yz + h(z)] = x + y + h'(z) = x + y :
Agora, vamos usar a última equação :
Isso nos mostra que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante na função potencial.

Passo 7

Então, a função potencial é:
phi(x, y, z) = x(y + z) + yz
Simplificando:
phi(x, y, z) = xy + xz + yz

Passo 8

Agora, para calcular a integral de linha integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A) , como é um campo gradiente, a integral depende apenas dos valores de nos pontos e :

Passo 9

Calculando phi(1, 1, 1) = (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 + 1 = 3 em phi(0, 1, 1) = (0)(1) + (0)(1) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1 :
E em :

Resposta

A integral de linha é .

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