Mostre que a curvatura está relacionada com os vetores tangente e normal pela equação
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para mostrar que a curvatura está relacionada com os vetores tangente e normal pela equação
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial de curvas no espaço, especificamente a definição de curvatura e como os vetores tangente e normal se comportam quando movemos ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor tangente . Ele é definido como a derivada da posição em relação ao comprimento do arco :
Aqui, é o vetor posição na curva.
Passo 3
A curvatura mede o quanto a curva está “curvando” em um ponto. Matematicamente, ela é definida como a magnitude da derivada do vetor tangente em relação ao comprimento do arco:
Isso nos diz que aponta na direção da mudança do vetor tangente, ou seja, na direção do vetor normal .
Passo 4
Sabendo que está na direção de , podemos escrever:
Isso porque a derivada do vetor tangente traz a taxa de variação da direção, que é proporcional à curvatura e aponta na direção do vetor normal .
Passo 5
Portanto, chegamos à relação que queríamos demonstrar:
Isso mostra como a curvatura está diretamente ligada à derivada do vetor tangente em relação ao comprimento do arco, direcionada pelo vetor normal.
Resposta
A curvatura está relacionada aos vetores tangente e normal pela equação