Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado e calcule integralC F cdot d r onde C é qualquer caminho C^1 por partes do ponto A até o ponto B indicados, onde
F(x, y)=(e^x seny, e^x cos y) e A=(pi2, 0) e B=(0, pi2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial e depois calcular a integral de linha de um ponto até um ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F(x, y) = ( partial phipartial x, partial phipartial y ) é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial partial phipartial x = e^x sin y e partial phipartial y = e^x cos y tal que . Isso significa que:
Então, temos:

Passo 3

Vamos integrar a primeira equação em relação a phi(x, y) = integral e^x sin y , dx = e^x sin y + g(y) para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, vamos derivar partial phipartial y = e^x cos y + g'(y) = e^x cos y em relação a e igualar à segunda componente de :
Isso implica que , o que significa que é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 5

Então, a função potencial fica:
phi(x, y) = e^x sin y + C
Escolhemos para simplificar, já que na integral a constante será cancelada.

Passo 6

Agora, para calcular a integral de linha integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A) , podemos usar o teorema fundamental do cálculo para campos conservativos:
Vamos calcular e .

Passo 7

Calculando phi(pi2, 0) = e^pi2 sin 0 = 0 onde phi(0, pi2) = e^0 sin (pi2) = 1 :
Calculando onde :

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A) = 1 - 0 = 1

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