Determine uma função potencial para cada campo gradiente
dado e calcule
onde
é qualquer caminho
por partes do ponto
até o ponto
indicados, onde
seny,
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial
e depois calcular a integral de linha
de um ponto
até um ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Então, temos:
Passo 3
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
Isso implica que
, o que significa que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 5
Então, a função potencial fica:
Escolhemos
para simplificar, já que na integral a constante será cancelada.
Passo 6
Agora, para calcular a integral de linha
, podemos usar o teorema fundamental do cálculo para campos conservativos:
Vamos calcular
e
.
Passo 7
Calculando
onde
:
Calculando
onde
:
Resposta
Portanto, a integral de linha é: