Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assintotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
a) f(x) = (2(x^2 + x) / (x^2 - 1)) - 1
b) f(x) = 1000 / (1 + 199 e^(-x))
c) f(x) = 1/(1+x^2)
d) f(x) = raiz((1 - x^2) / (x^2 - 4x + 3))
e) f(x) = 3 - sen(2x)
f) f(x) = raiz(x - 1) + 1
g) f(x) = |x - 1| + |2 - x| + |x - 3|
h) f(x)=-|x^2-6x+8|+1

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício, que pede para analisar a função . O conteúdo envolve o estudo de limites, interceptos com os eixos, assíntotas e continuidade da função. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo, como determinar limites, resolver equações para encontrar interceptos e identificar comportamentos assintóticos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar os cálculos. Temos:
Podemos colocar os termos sobre o mesmo denominador:
Note que o numerador pode ser fatorado:
Então, a função simplificada fica:

Passo 3

Intercepto OY: Para encontrar o intercepto com o eixo Y, avaliamos :
Portanto, o intercepto com o eixo Y é o ponto .

Passo 4

Interceptos OX: Para encontrar os interceptos com o eixo X, devemos resolver :
A fração será zero quando o numerador for zero e o denominador diferente de zero:
Como não anula o denominador , esse ponto não é válido. Portanto, não há interceptos com o eixo X.

Passo 5

Assíntotas Verticais: As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Resolvendo :
Verificamos o numerador nesses valores:
Portanto, só é uma assíntota vertical, pois em tanto o numerador quanto o denominador são zero, indicando um possível buraco no gráfico.
Assíntota Horizontal: Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o limite de quando tende ao infinito:
Portanto, a assíntota horizontal é .

Passo 6

Continuidade: A função é contínua em todo o seu domínio. Exceções acontecem nos pontos onde o denominador é zero, ou seja, e . Em , existe uma assíntota vertical, indicando uma descontinuidade infinita. Em , como o numerador também é zero, verifica-se a existência de um ponto removível (buraco) nesse ponto.

Passo 7

Comportamento nos Limites:
  • Quando :
    çã
  • Quando :
    Após simplificar, temos um buraco no gráfico em .

Resposta

Resumo do Gráfico de :
  • Intercepto OY:
  • Nenhum intercepto OX
  • Assíntotas Verticais:
  • Assíntota Horizontal:
  • Continuidade: Contínua em todo o domínio exceto em (assíntota vertical) e (buraco no gráfico)

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