Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assintotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício, que pede para analisar a função . O conteúdo envolve o estudo de limites, interceptos com os eixos, assíntotas e continuidade da função. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo, como determinar limites, resolver equações para encontrar interceptos e identificar comportamentos assintóticos da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar os cálculos. Temos:
Podemos colocar os termos sobre o mesmo denominador:
Note que o numerador pode ser fatorado:
Então, a função simplificada fica:
Passo 3
Intercepto OY: Para encontrar o intercepto com o eixo Y, avaliamos :
Portanto, o intercepto com o eixo Y é o ponto .
Passo 4
Interceptos OX: Para encontrar os interceptos com o eixo X, devemos resolver :
A fração será zero quando o numerador for zero e o denominador diferente de zero:
Como não anula o denominador , esse ponto não é válido. Portanto, não há interceptos com o eixo X.
Passo 5
Assíntotas Verticais: As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Resolvendo :
Verificamos o numerador nesses valores:
Portanto, só é uma assíntota vertical, pois em tanto o numerador quanto o denominador são zero, indicando um possível buraco no gráfico.
Assíntota Horizontal: Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o limite de quando tende ao infinito:
Portanto, a assíntota horizontal é .
Passo 6
Continuidade: A função é contínua em todo o seu domínio. Exceções acontecem nos pontos onde o denominador é zero, ou seja, e . Em , existe uma assíntota vertical, indicando uma descontinuidade infinita. Em , como o numerador também é zero, verifica-se a existência de um ponto removível (buraco) nesse ponto.
Passo 7
Comportamento nos Limites:
Quando :
çã
Quando :
Após simplificar, temos um buraco no gráfico em .
Resposta
Resumo do Gráfico de :
Intercepto OY:
Nenhum intercepto OX
Assíntotas Verticais:
Assíntota Horizontal:
Continuidade: Contínua em todo o domínio exceto em (assíntota vertical) e (buraco no gráfico)