Encontre as derivadas de primeira ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa encontrar as derivadas de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. Para isso, percebemos que
é o produto de duas funções de
:
e
. Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar.
A regra do produto diz que se
e
são funções de
, então:
Vamos identificar
e
.
Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos
. Aqui usamos a regra da cadeia, porque temos uma função composta:
A derivada de
é
. Então:
Como
é considerado uma constante em relação a
:
Portanto:
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Nessa vez, tratamos
como uma constante. A função
tem apenas
dentro do cosseno, então vamos usar novamente a regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
.
Aplicando isso:
Calculando
:
Então:
Resposta
As derivadas de primeira ordem da função são:
e