Encontre as derivadas de primeira ordem das funções abaixo: f(x, y) = 2 x * cos(3 x^3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa encontrar as derivadas de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Para isso, percebemos que é o produto de duas funções de : e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar.
A regra do produto diz que se e são funções de , então:
Vamos identificar e .
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos . Aqui usamos a regra da cadeia, porque temos uma função composta:
A derivada de é . Então:
Como é considerado uma constante em relação a :
Portanto:
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Nessa vez, tratamos como uma constante. A função tem apenas dentro do cosseno, então vamos usar novamente a regra da cadeia.
A derivada de em relação a é .
Aplicando isso:
Calculando :
Então:

Resposta

As derivadas de primeira ordem da função são:
e

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