Para cada função a seguir, calcule lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x) e lim x a f(x), caso exista.
(b) f(x)=x^2-3 x-4x-4 com a=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos os limites laterais e o limite geral da função quando se aproxima de . Vamos precisar entender um pouco sobre limites e como simplificar expressões algébricas para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Notamos que, se substituirmos diretamente, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, resultando em uma forma indeterminada . Isso significa que podemos simplificar a função para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, fatorando:

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração na função original:
f(x) = (x - 4)(x + 1)x - 4
Podemos simplificar, cancelando o termo f(x) = x + 1 quando x neq 4 no numerador e denominador:

Passo 5

Com a função simplificada , podemos calcular os limites laterais e o limite geral substituindo diretamente , já que a função agora está definida para todo exceto .

Passo 6

Calculando o limite quando limx to 4^+ f(x) = limx to 4^+ (x + 1) = 4 + 1 = 5 se aproxima de 4 pela direita ( ):

Passo 7

Calculando o limite quando limx to 4^- f(x) = limx to 4^- (x + 1) = 4 + 1 = 5 se aproxima de 4 pela esquerda ( ):

Passo 8

Como os limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 5:
limx to 4 f(x) = 5

Resposta

limx to 4^+ f(x) = 5, limx to 4^- f(x) = 5 e limx to 4 f(x) = 5

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