Para cada função a seguir, calcule lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x) e lim x a f(x), caso exista.
© f(x)=lx^2-4 x-1, se x<2 2-x, se x>2 com a=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . Precisamos calcular os limites da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ), pela direita ( ) e ver se o limite geral ( ) existe. Para isso, vamos usar os conceitos de limites laterais e limites de funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando f(x) = x^2 - 4x - 1 se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, limx to 2^- f(x) = (2)^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 . Nessa região, a função é definida por:
Então, substituímos por 2 nessa expressão:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = 2 - x se aproxima de 2 pela direita, ou seja, limx to 2^+ f(x) = 2 - 2 = 0 . Nessa região, a função é definida por:
Substituindo por 2:

Passo 4

Para verificar se o limite geral limx to 2^- f(x) = -5 e limx to 2^+ f(x) = 0 existe, precisamos ver se os limites laterais são iguais. Aqui, vimos que:
Como , os limites laterais são diferentes, o que significa que o limite geral não existe.

Resposta

limx to 2^- f(x) = -5, limx to 2^+ f(x) = 0, limx to 2 f(x) não existe ã

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