Para cada função a seguir, calcule e , caso exista.
(d) com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos os limites laterais e o limite geral da função quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções definidas por partes, então vamos precisar usar o conceito de limites laterais e entender como a função se comporta nos arredores de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função :
Aqui, a função tem três “pedaços” diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é ver o que acontece com quando se aproxima de vindo da direita () e da esquerda (), e então determinar o limite geral.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela direita (). Isso significa que está se aproximando de a partir de valores maiores que . De acordo com a definição da função, para , temos:
Então, substituímos por na expressão:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela esquerda (). Aqui, se aproxima de a partir de valores menores que . Segundo a função, para :
Substituindo por :
Passo 5
Com os limites laterais iguais, podemos determinar o limite geral de quando se aproxima de . O limite geral existe se e somente se os limites laterais são iguais e ambos existem.