Para cada função a seguir, calcule lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x) e lim x a f(x), caso exista.
(d) f(x)=ll2 x+3, & se x<-1 -x, & se x>-1 0, & se x=-1 com a=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos os limites laterais e o limite geral da função quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções definidas por partes, então vamos precisar usar o conceito de limites laterais e entender como a função se comporta nos arredores de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = 2x + 3, & se x < -1 -x, & se x > -1 0, & se x = -1 :
Aqui, a função tem três “pedaços” diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é ver o que acontece com quando se aproxima de vindo da direita ( ) e da esquerda ( ), e então determinar o limite geral.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela direita ( f(x) = -x ). Isso significa que limx -1^+ f(x) = limx -1^+ (-x) = -(-1) = 1 está se aproximando de a partir de valores maiores que . De acordo com a definição da função, para , temos:
Então, substituímos por na expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda ( f(x) = 2x + 3 ). Aqui, limx -1^- f(x) = limx -1^- (2x + 3) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 se aproxima de a partir de valores menores que . Segundo a função, para :
Substituindo por :

Passo 5

Com os limites laterais iguais, podemos determinar o limite geral de limx -1^+ f(x) = 1 e limx -1^- f(x) = 1 quando limx -1 f(x) = 1 se aproxima de . O limite geral existe se e somente se os limites laterais são iguais e ambos existem.
Como:
Então:

Resposta

limx -1^+ f(x) = 1, limx -1^- f(x) = 1 e limx -1 f(x) = 1

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