Calcule os limites:
f) lim x 2 x^4-3 x^2-4x-2

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2. Esse tipo de problema está ligado ao estudo dos limites, que é uma parte da cálculo diferencial. Para resolver isso, a gente vai precisar simplificar a expressão para eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2^4 - 3 cdot 2^2 - 42 - 2 = 16 - 12 - 40 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Isso dá uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador y^2 - 3y - 4 . Primeiramente, percebemos que é um polinômio de quarto grau, mas podemos tentar reescrevê-lo como uma expressão mais simples.
Vamos realizar a substituição y^2 - 3y - 4 = (y - 4)(y + 1) , então o numerador fica:
(x^2 - 4)(x^2 + 1) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)
Agora, fatorando esse polinômio:
Substituindo de volta :

Passo 4

Agora, nossa expressão original fica:
(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)x - 2
Podemos cancelar o termo (x + 2)(x^2 + 1) que está no numerador e no denominador, desde que :

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo (2 + 2)(2^2 + 1) = 4 cdot (4 + 1) = 4 cdot 5 = 20 :

Resposta

O limite é 20.

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