Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio, a imagem, representar as curvas de nível e, quando possível, fazer um esboço do gráfico da função . Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e imagem, além de entender como são as curvas de nível e o gráfico dessa função.

Passo 2

Dominio da função
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
Como é o produto de dois números reais, não há restrições sobre os valores de e . Portanto, o domínio é todo o plano .
Imagem da função
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Como e podem ser qualquer número real, o produto também pode ser qualquer número real. Então, a imagem da função é .
Curvas de nível
As curvas de nível são as curvas no plano onde a função é constante. Ou seja, para um valor constante , temos:
Vamos resolver essa equação para :
Isso representa uma hipérbole para cada valor de . Quando , a equação vira , que representa as retas e .
Esboço do gráfico da função
O gráfico de é uma superfície chamada de sela ou paraboloide hiperbólico. Para visualizar, imagine que em cada ponto , a altura é dada pelo produto .
  • Quando e são ambos positivos ou ambos negativos, é positivo.
  • Quando um é positivo e o outro negativo, é negativo.
  • Nas retas e , .
Esse comportamento cria uma superfície que se curva para cima em algumas direções e para baixo noutras, formando uma forma de sela.

Resposta

Então, resumindo:
  • Domínio: Todos os pares reais, ou seja, .
  • Imagem: Todos os números reais, .
  • Curvas de nível: Hipérboles da forma para e as retas e para .
  • Gráfico da função: Um paraboloide hiperbólico, também conhecido como superfície de sela.

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Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .