Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio, a imagem, representar as curvas de nível e, quando possível, fazer um esboço do gráfico da função
. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e imagem, além de entender como são as curvas de nível e o gráfico dessa função.
Passo 2
Dominio da função
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
Como
é o produto de dois números reais, não há restrições sobre os valores de
e
. Portanto, o domínio é todo o plano
.
Imagem da função
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Como
e
podem ser qualquer número real, o produto
também pode ser qualquer número real. Então, a imagem da função é
.
Curvas de nível
As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
é constante. Ou seja, para um valor constante
, temos:
Vamos resolver essa equação para
:
Isso representa uma hipérbole para cada valor de
. Quando
, a equação vira
, que representa as retas
e
.
Esboço do gráfico da função
O gráfico de
é uma superfície chamada de sela ou paraboloide hiperbólico. Para visualizar, imagine que em cada ponto
, a altura
é dada pelo produto
.
- Quando
e são ambos positivos ou ambos negativos, é positivo. - Quando um é positivo e o outro negativo,
é negativo. - Nas retas
e , .
Esse comportamento cria uma superfície que se curva para cima em algumas direções e para baixo noutras, formando uma forma de sela.
Resposta
Então, resumindo:
- Domínio: Todos os pares
reais, ou seja, . - Imagem: Todos os números reais,
. - Curvas de nível: Hipérboles da forma
para e as retas e para . - Gráfico da função: Um paraboloide hiperbólico, também conhecido como superfície de sela.
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Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
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