Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
101) integral e^x d xraiz1-e^2 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral indefinida:
integral e^x , dxraiz1 - e^2x
Esse problema envolve cálculo de integrais e utiliza métodos de substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar usar a substituição trigonométrica para resolver essa integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observe que no denominador temos e^x = sintheta . Isso se assemelha à forma da identidade trigonométrica . Então, vamos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Agora, vamos encontrar ddx(e^x) = ddx(sintheta) e^x = costheta cdot dthetadx em termos de dx = e^xcostheta , dtheta . Diferenciando ambos os lados da substituição:
Isso nos dá:

Passo 4

Substituindo integral sintheta cdot sinthetacostheta , dthetaraiz1 - sin^2theta = integral sin^2thetacostheta cdot costheta , dtheta = integral sin^2thetacos^2theta , dtheta e integral tan^2theta , dtheta na integral original:
Simplificando a fração:

Passo 5

Sabemos que integral (sec^2theta - 1) , dtheta = integral sec^2theta , dtheta - integral 1 , dtheta . Então, a integral se torna:
tantheta - theta + C
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = arcsin(e^x) . Lembrando que fizemos a substituição , então:
E

Resposta

A solução da integral é:
e^xraiz1 - e^2x - arcsin(e^x) + C

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