Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é, para a função , determinar o domínio, a imagem, desenhar as curvas de nível e, se der, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e geometria analítica, como domínio e imagem de funções, curvas de nível e formas geométricas de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todas as combinações de e que fazem a função estar bem definida.
Como é um polinômio, não tem restrições de valores para e . Ou seja, qualquer número real para e vai funcionar. Portanto, o domínio é todo o plano .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem são todos os valores possíveis que pode assumir.
Olha só, é sempre maior ou igual a zero, já que está somando quadrados. Então, . Isso significa que o menor valor que pode ter é , e pode ir até o infinito. Assim, a imagem é .

Passo 4

Vamos lá, agora é hora de desenhar as curvas de nível. As curvas de nível são onde a função é igual a uma constante . Ou seja, resolvemos , que podemos rearranjar para .
Dependendo do valor de , temos diferentes tipos de curvas:
  • Se , a equação representa uma elipse.
  • Se , é um ponto (neste caso, ).
  • Se , não há solução real, já que a soma de quadrados não pode ser negativa.
Portanto, para cada , as curvas de nível são elipses centradas na origem, com eixos de comprimento diferentes dependendo do valor de .

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
Essa função é uma superfície do tipo paraboloide elíptico, que abre para cima. A forma das curvas de nível, que são elipses, confirma isso. No ponto mínimo, onde e , .
Visualmente, o gráfico parece uma tigela esticada mais no eixo devido ao coeficiente 4 em , e mais “fechada” no eixo .

Resposta

Resumo das características da função :
  • Domínio: (todos os números reais para e ).
  • Imagem: .
  • Curvas de Nível: Elipses centradas na origem para cada , dadas por .
  • Gráfico: Paraboloide elíptico aberto para cima, com ponto mínimo em .

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Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
108)
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .
Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
16)