Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é, para a função
, determinar o domínio, a imagem, desenhar as curvas de nível e, se der, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e geometria analítica, como domínio e imagem de funções, curvas de nível e formas geométricas de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todas as combinações de
e
que fazem a função
estar bem definida.
Como
é um polinômio, não tem restrições de valores para
e
. Ou seja, qualquer número real para
e
vai funcionar. Portanto, o domínio é todo o plano
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem são todos os valores possíveis que
pode assumir.
Olha só,
é sempre maior ou igual a zero, já que está somando quadrados. Então,
. Isso significa que o menor valor que
pode ter é
, e pode ir até o infinito. Assim, a imagem é
.
Passo 4
Vamos lá, agora é hora de desenhar as curvas de nível. As curvas de nível são onde a função
é igual a uma constante
. Ou seja, resolvemos
, que podemos rearranjar para
.
Dependendo do valor de
, temos diferentes tipos de curvas:
- Se
, a equação representa uma elipse. - Se
, é um ponto (neste caso, ). - Se
, não há solução real, já que a soma de quadrados não pode ser negativa.
Portanto, para cada
, as curvas de nível são elipses centradas na origem, com eixos de comprimento diferentes dependendo do valor de
.
Passo 5
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
.
Essa função é uma superfície do tipo paraboloide elíptico, que abre para cima. A forma das curvas de nível, que são elipses, confirma isso. No ponto mínimo, onde
e
,
.
Visualmente, o gráfico parece uma tigela esticada mais no eixo
devido ao coeficiente 4 em
, e mais “fechada” no eixo
.
Resposta
Resumo das características da função
:
- Domínio:
(todos os números reais para e ). - Imagem:
. - Curvas de Nível: Elipses centradas na origem para cada
, dadas por . - Gráfico: Paraboloide elíptico aberto para cima, com ponto mínimo em
.
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108)
108)
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
16)
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