Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto é ou não simplesmente conexo. Para isso, vamos usar conceitos de Topologia, especificamente sobre conexidade e simples conexidade. Precisaremos entender o que significa um conjunto ser simplesmente conexo e aplicar isso ao conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser simplesmente conexo. Um conjunto é simplesmente conexo se ele for conexo e, além disso, qualquer ciclo dentro dele pode ser contraído a um ponto sem sair do conjunto. Isso significa que o conjunto não possui “buracos”.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto . Esse conjunto representa todos os pontos no plano que estão a menos de 1 unidade de distância da origem, ou seja, o disco aberto de raio 1.

Passo 4

Esse disco aberto é um espaço conexo porque qualquer dois pontos dentro dele podem ser ligados por um caminho contínuo que permanece totalmente dentro do disco. Não há “partes separadas” no conjunto.

Passo 5

Além disso, como o disco não possui bordas (pois é aberto) e não contém nenhuma “lacuna” ou “buraco”, qualquer ciclo dentro dele pode ser facilmente contraído a um ponto sem sair do conjunto. Isso confirma que o disco é simplesmente conexo.

Resposta

Sim, o conjunto é simplesmente conexo.

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