Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
16) integral d x1+2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dx1 + 2x^2 usando a substituição de variáveis. O conteúdo aqui envolve integrais e métodos de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador é 1 + 2x^2. Podemos reescrever isso para facilitar a aplicação de uma fórmula de integral conhecida. Vamos fatorar o 2:
1 + 2x^2 = 1 + ( raiz2 x )^2

Passo 3

Agora, percebemos que temos algo parecido com a integral da forma integral dx1 + u^2, que sabemos que resulta em arctan(u). Para usar isso, vamos fazer a substituição u = raiz2x.

Passo 4

Com a substituição u = raiz2x, calculamos a derivada de u em relação a x para substituir dx:
du = raiz2 , dx Rightarrow dx = duraiz2

Passo 5

Substituindo u e dx na integral original:
integral dx1 + 2x^2 = integral duraiz21 + u^2 = 1raiz2 integral du1 + u^2

Passo 6

Sabemos que integral du1 + u^2 = arctan(u) + C. Então, substituindo de volta:
1raiz2 arctan(u) + C = 1raiz2 arctan(raiz2x) + C

Resposta

A integral integral dx1 + 2x^2 é igual a 1raiz2 arctan(raiz2x) + C, onde C é a constante de integração.

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