Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a função . A tarefa é descobrir o domínio e a imagem dessa função, desenhar as curvas de nível e, se der, fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis, domínio, imagem, curvas de nível e gráficos tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e que a gente pode colocar na função sem ter problemas, como divisões por zero ou raízes de números negativos. Olhando pra função , não tem nada que possa causar problemas. Não tem divisão, nem raiz, então o domínio é todo o plano .

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Como essa função é linear e não tem restrições, pode ser qualquer número real. Então, a imagem é .

Passo 4

Vamos passar para as curvas de nível. As curvas de nível são as linhas onde a função tem um valor constante. Para encontrar isso, a gente define , onde é uma constante qualquer. Então:
Isso significa que as curvas de nível são linhas retas com inclinação e intercepto . Dependendo do valor de , a linha se move para cima ou para baixo no plano.

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função . Essa é uma função linear, então o gráfico dela é um plano no espaço tridimensional. Para visualizar, imagine todas as linhas de nível que a gente desenhou antes se empilhando em diferentes alturas, formando um plano inclinado.

Resposta

  • Domínio: (todos os pares de números reais)
  • Imagem: (todos os números reais)
  • Curvas de nível: linhas retas da forma , onde é uma constante
  • Gráfico da função: um plano inclinado no espaço tridimensional definido por

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