Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
f{(x, y) | x^2 + y^2 > 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o conjunto é ou não simplesmente conexo. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre espaços simplesmente conexos. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser simplesmente conexo e analisar as características desse conjunto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto simplesmente conexo. Um espaço é simplesmente conexo se ele é “sem buracos”, ou seja, se qualquer laço ou caminho fechado dentro do conjunto pode ser continuamente encurtado até um ponto sem sair do conjunto. Para verificar isso, precisamos analisar a forma e a estrutura do conjunto dado.

Passo 3

O conjunto representa todos os pontos no plano que estão fora do círculo de raio 1 com centro na origem. Visualmente, isso é como o exterior de um círculo. Agora, vamos pensar se esse conjunto tem “buracos”.

Passo 4

Como estamos removendo o interior do círculo de raio 1, estamos deixando de fora uma região fechada (o próprio círculo). Esse “vazio” no meio cria um buraco no conjunto. Em termos de topologia, a presença de um buraco impede que todo caminho fechado possa ser contraído a um ponto sem atravessar o buraco.

Passo 5

Além disso, sabemos que o conjunto exterior a um círculo no plano é equivalente a um anel aberto, que é um exemplo clássico de espaço não simplesmente conexo. Isso porque existe um caminho fechado ao redor do buraco que não pode ser contraído a um ponto dentro do conjunto sem atravessar o buraco.

Resposta

O conjunto não é simplesmente conexo.

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