Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o conjunto
é ou não simplesmente conexo. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre espaços simplesmente conexos. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser simplesmente conexo e analisar as características desse conjunto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto simplesmente conexo. Um espaço é simplesmente conexo se ele é “sem buracos”, ou seja, se qualquer laço ou caminho fechado dentro do conjunto pode ser continuamente encurtado até um ponto sem sair do conjunto. Para verificar isso, precisamos analisar a forma e a estrutura do conjunto dado.
Passo 3
O conjunto
representa todos os pontos no plano que estão fora do círculo de raio 1 com centro na origem. Visualmente, isso é como o exterior de um círculo. Agora, vamos pensar se esse conjunto tem “buracos”.
Passo 4
Como estamos removendo o interior do círculo de raio 1, estamos deixando de fora uma região fechada (o próprio círculo). Esse “vazio” no meio cria um buraco no conjunto. Em termos de topologia, a presença de um buraco impede que todo caminho fechado possa ser contraído a um ponto sem atravessar o buraco.
Passo 5
Além disso, sabemos que o conjunto exterior a um círculo no plano é equivalente a um anel aberto, que é um exemplo clássico de espaço não simplesmente conexo. Isso porque existe um caminho fechado ao redor do buraco que não pode ser contraído a um ponto dentro do conjunto sem atravessar o buraco.
Resposta
O conjunto
não é simplesmente conexo.