Resolva as integrais abaixo.
27)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar essa técnica que ajuda a integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Uma boa escolha é deixar
porque ao derivar, simplifica a expressão, e
, que é uma função que sabemos facilmente integrar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Sabemos que
porque a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Então, precisamos agora resolver a nova integral
.
Passo 5
Vamos aplicar integração por partes novamente para
. Escolhemos:
Porque
.
Passo 6
Aplicando a fórmula novamente:
Simplificando:
A integral
é complexa e geralmente não tem uma expressão em termos de funções elementares. Para simplificar, vamos considerar uma aproximação ou deixar essa parte como está, já que não é o foco principal.
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração. Como a integral
é complexa, podemos deixá-la expressa dessa forma para finalização.
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Mostre que se
é um campo vetorial conservativo e
então
.
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.