Resolva as integrais abaixo.
27) integral x^2 sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar essa técnica que ajuda a integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa escolha é deixar porque ao derivar, simplifica a expressão, e , que é uma função que sabemos facilmente integrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx e integrar dv = sec^2 x , dx Rightarrow v = tan x :
Sabemos que porque a derivada de é .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 sec^2 x , dx = uv - integral v , du = x^2 tan x - integral tan x cdot 2x , dx
Simplificando:
x^2 tan x - 2 integral x tan x , dx
Então, precisamos agora resolver a nova integral .

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes novamente para u = x Rightarrow du = dx . Escolhemos:
dv = tan x , dx Rightarrow v = -ln|cos x|
Porque .

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral x tan x , dx = uv - integral v , du = -x ln|cos x| - integral -ln|cos x| , dx
Simplificando:
- x ln|cos x| + integral ln|cos x| , dx
A integral é complexa e geralmente não tem uma expressão em termos de funções elementares. Para simplificar, vamos considerar uma aproximação ou deixar essa parte como está, já que não é o foco principal.

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
integral x^2 sec^2 x , dx = x^2 tan x - 2 ( -x ln|cos x| + integral ln|cos x| , dx ) + C
Simplificando:
x^2 tan x + 2x ln|cos x| - 2 integral ln|cos x| , dx + C
Onde é a constante de integração. Como a integral é complexa, podemos deixá-la expressa dessa forma para finalização.

Resposta

A integral x^2 tan x + 2x ln|cos x| - 2 integral ln|cos x| , dx + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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