Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função , desenhar suas curvas de nível e, quando possível, fazer um esboço do gráfico dessa função. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e geometria analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida.
Para a função , não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, já que os termos e sempre resultam em números reais para qualquer valor real de e .
Então, o domínio é todos os números reais para e :
í

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Observando a função , tanto quanto são sempre maiores ou iguais a zero, já que qualquer número ao quadrado é não negativo.
Assim, a soma desses termos também será sempre maior ou igual a zero:
Portanto, a imagem da função é:

Passo 4

Vamos agora representar graficamente as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume valores constantes, digamos .
Para encontrar as curvas de nível, fixamos :
Essa equação representa uma elipse quando . A forma geral da elipse é:
Comparando com nossa equação:
Isso mostra que para cada valor positivo de , temos uma elipse com semi-eixos e . Quando , a curva de nível é apenas o ponto .

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
Essa função representa uma superfície chamada paraboloide elíptico. Para visualizá-la:
  • No eixo , os valores aumentam conforme nos afastamos da origem.
  • As curvas de nível, que são elipses, mostram que a superfície se expande mais rapidamente na direção de devido ao coeficiente 4.
  • O ponto mais baixo da superfície é na origem .
O esboço terá a forma de um “paraboloide” que se abre para cima, esboçado com curvas elípticas concêntricas em diferentes níveis de .

Resposta

O domínio da função é , a imagem é . As curvas de nível são elipses dadas por , e o gráfico da função é um paraboloide elíptico que se abre para cima.

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Mostre que se é um campo vetorial conservativo e
então .
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27)
Resolva as integrais abaixo.
44)
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função .