Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função
, desenhar suas curvas de nível e, quando possível, fazer um esboço do gráfico dessa função. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e geometria analítica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida.
Para a função
, não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, já que os termos
e
sempre resultam em números reais para qualquer valor real de
e
.
Então, o domínio é todos os números reais para
e
:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Observando a função
, tanto
quanto
são sempre maiores ou iguais a zero, já que qualquer número ao quadrado é não negativo.
Assim, a soma desses termos também será sempre maior ou igual a zero:
Portanto, a imagem da função é:
Passo 4
Vamos agora representar graficamente as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume valores constantes, digamos
.
Para encontrar as curvas de nível, fixamos
:
Essa equação representa uma elipse quando
. A forma geral da elipse é:
Comparando com nossa equação:
Isso mostra que para cada valor positivo de
, temos uma elipse com semi-eixos
e
. Quando
, a curva de nível é apenas o ponto
.
Passo 5
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
.
Essa função representa uma superfície chamada paraboloide elíptico. Para visualizá-la:
- No eixo
, os valores aumentam conforme nos afastamos da origem. - As curvas de nível, que são elipses, mostram que a superfície se expande mais rapidamente na direção de
devido ao coeficiente 4. - O ponto mais baixo da superfície é na origem
.
O esboço terá a forma de um “paraboloide” que se abre para cima, esboçado com curvas elípticas concêntricas em diferentes níveis de
.
Resposta
O domínio da função é
, a imagem é
. As curvas de nível são elipses dadas por
, e o gráfico da função é um paraboloide elíptico que se abre para cima.
Exercícios relacionados
Mostre que se
é um campo vetorial conservativo e
então
.
Resolva as integrais abaixo.
27)
27)
Resolva as integrais abaixo.
44)
44)
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.