Mostre que se F é um campo vetorial conservativo e
g(x, y, z)=integral(0,0,0)^(x, y, z) F cdot d r
então nabla g=F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se F é um campo vetorial conservativo e definimos uma função g(x, y, z) como a integral de linha de F de (0,0,0) até (x, y, z), então o gradiente de g é igual a F. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, integrais de linha e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo F é conservativo se existe uma função escalar g tal que F = nabla g. Além disso, em campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

A função g(x, y, z) está definida como:
g(x, y, z) = integral(0,0,0)^(x, y, z) F cdot dr
Isso significa que g acumula o “trabalho” realizado por F ao se mover de (0,0,0) até (x, y, z). Como F é conservativo, essa integral será independente do caminho escolhido.

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente de g. O gradiente, nabla g, dá as derivadas parciais de g em relação a cada variável:
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z )

Passo 5

Para encontrar partial gpartial x, consideramos uma variação infinitesimal em x mantendo y e z constantes. Isso equivale a adicionar um pequeno deslocamento na direção x, então:
partial gpartial x = F cdot i = Fx
Onde Fx é a componente de F na direção x.

Passo 6

De forma semelhante, para as outras derivadas parciais:
partial gpartial y = F cdot j = Fy
partial gpartial z = F cdot k = Fz
Onde Fy e Fz são as componentes de F nas direções y e z, respectivamente.

Passo 7

Juntando tudo, temos:
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z ) = (Fx, Fy, Fz) = F

Resposta

Portanto, mostramos que nabla g = F.

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