Mostre que se é um campo vetorial conservativo e
então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se é um campo vetorial conservativo e definimos uma função como a integral de linha de de até , então o gradiente de é igual a . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, integrais de linha e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que . Além disso, em campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

A função está definida como:
Isso significa que acumula o “trabalho” realizado por ao se mover de até . Como é conservativo, essa integral será independente do caminho escolhido.

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente de . O gradiente, , dá as derivadas parciais de em relação a cada variável:

Passo 5

Para encontrar , consideramos uma variação infinitesimal em mantendo e constantes. Isso equivale a adicionar um pequeno deslocamento na direção , então:
Onde é a componente de na direção .

Passo 6

De forma semelhante, para as outras derivadas parciais:
Onde e são as componentes de nas direções e , respectivamente.

Passo 7

Juntando tudo, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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