Mostre que se
é um campo vetorial conservativo e
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se
é um campo vetorial conservativo e definimos uma função
como a integral de linha de
de
até
, então o gradiente de
é igual a
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, integrais de linha e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Além disso, em campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
A função
está definida como:
Isso significa que
acumula o “trabalho” realizado por
ao se mover de
até
. Como
é conservativo, essa integral será independente do caminho escolhido.
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente,
, dá as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Passo 5
Para encontrar
, consideramos uma variação infinitesimal em
mantendo
e
constantes. Isso equivale a adicionar um pequeno deslocamento na direção
, então:
Onde
é a componente de
na direção
.
Passo 6
De forma semelhante, para as outras derivadas parciais:
Onde
e
são as componentes de
nas direções
e
, respectivamente.
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais abaixo.
27)
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Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
Para cada função a seguir determine seu domínio, imagem, represente graficamente suas curvas de nível e, quando possível, faça um esboço do gráfico da função
.
Resolva as integrais abaixo.
44)
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